11/24 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“関数方程式の解法”について「未知関数の形が予測できる場合の解法」「方程式を微分する場合の解法」を講義した。
関数方程式に関する問題は、東京大学をはじめとする難関大学での出題率が高い項目であるが、この項目の基本～標準問題はほとんどの参考書・問題集で扱われていない。結果として、入試問題での正解率も下がってしまっていると思われるので、前回と今回で扱った問題をしっかり復習して、このレベルの問題は高１～２で完璧に得点できるようにしておいてもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/22 数学Ⅱ

今回は、相似の応用について「相似な図形の周の長さの比と面積の比」「相似な三角形の面積比」「相似な立体の表面積の比と体積の比」「相似な立体の体積比」を学習した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/17 大学受験数学Ⅰ～条件つき確率～ その間違いがわかりますか？

今回は“条件つき確率”について「条件つき確率の定義・確率空間の再設定」「条件つき確率のもう１つの定義」「条件つき確率の利用に関する注意点」「条件つき確率の問題」を講義した。

先日、「教科書や参考書は間違いだらけ」と書いたが、信じられない人も多いだろう。そういう人は「もしかしたら自分は、自分で気づいていないだけで、日本人独特の『お上の言うことを鵜呑みにしてしまう人間なのかもしれない』」と疑ってみた方がいい。

この“条件つき確率”という項目も、ほとんどすべての教科書・参考書・塾テキストが間違っている項目である。
まず、条件つき確率の定義を書いていないもの、これは論外である。数学において定義のない概念を議論することなどできない。特に多いのが、具体例をあげて、「このような確率を条件つき確率という」というスタイルのものだが、これは定義とは言えない。分かりやすくするために具体例を上げるのは大事なことだが、定義は定義できちんと行わなければならないのは当然のことである。しかし、それを行っていないものが多いのだ。
また、間違いとは言えないが、明らかな説明不足であるのが、その定義の仕方である。この説明の足りなさが、“条件つき確率”というものが受験生にとって意味不明で掴みどころのないものになっていると思う。
当室では、条件つき確率を確率空間の再設定を行って定義するのだが、その説明が面倒なのか、結果的に同じ定義であるものでも、ベン図のような絵を書いて面積の割合に見立てるだけで、確率空間を再設定していることにはふれないものばかりである。また、当室では「条件つき確率のもう１つの定義」としている以下の定義を行っているものも多い。

もちろん間違いではないし、こちらの方が便利な場合も多いのだが、これをいきなり条件つき確率の定義にしてしまうと、以下の乗法定理とよばれる式が単なる(※※※)の式変形に過ぎず、“何ゆえに定理たりえるのか？”が全く理解できないはずである。当室では、確率空間の再設定による定義から以下の乗法定理を証明し、乗法定理の式変形として(※※※)を得るという流れで指導している。

ネーミングは意味もなく行われているわけではない。わざわざ“定理”と書くにはそれなりの理由があるのだ。思い起こしてみてほしい。わざわざ“～定理”とネーミングされたものをいくつ知っているか？と。意外に少ないはずである。以前から書いている“中点連結定理”も同じである。意味もなく“定理”と付いているわけではないのだ。重要だからついているのである。そのような重要なものが、定義の式変形で終わりとか、相似の性質より明らか、であるはずがないのだ。このような意味のないネーミングになってしまっているのは、教科書や・参考書がその導入を間違っているからである。


また「条件つき確率の利用に関する注意点」として、以下のような問題を作成して講義した。

 

この考え方の誤りがわかるだろうか？
多分、分からないのではないだろうか・・・
私の知る限り、１冊の例外を除いてすべての教科書・参考書・塾教材にこのような解答が書かれているし、先の条件つき確率の定義における具体例で上記の類の説明がなされることも多いくらいである。しかし、これは明らかな間違いで、答えがあっているだけである。
教科書作成の東大や京大の名誉教授クラスの先生方が、まさかこの誤りに気づいていないとは思えないし、教科書は大学受験をしない生徒にも読ませなければならないものだから、厳密さよりも分かりやすさを重視して書くということには一定の理解は示せるものの、わかりやすさというような主観的なものは人それぞれ違うのだから、分かりやすさを重視して間違ったことを書くというのはやはり違うのではないかと思う。
一方、大手大学受験予備校や塾でそれなりの地位にある大先生がこのような間違いを平気で自分の本に書かれていらっしゃるのは、読者のわかりやすさに配慮したものではなく、明らかに本人の理解不足ゆえのものであるので、情けない限りである。

私自身は、高校生の頃、この解答は誤っているのではないかと思ったのだが、昔の田舎の高校生が手に入れられる参考書には限りもあったし、そのどれを見ても同じスタイルの解答が書かれていたので、自分が間違っているのか？と思いもしたが、条件つき確率の定義からどう考えても明らかに自分が正しいと信じていた。ただ、それを確信にしてくれる本を読んだことがなかった。

そして、月日は流れたが、何十冊という教材に目を通した結果、私が指摘する誤りを同じく指摘しているものはたった１冊、故矢野健太郎先生の「解法の手びき　確率・統計」（絶版）のみであった。
矢野健太郎先生はアラ３０以上の人には参考書ばかり書く大学の先生というイメージが強いかもしれないが、実は数学者として超一流で、東京大学を卒業して東京大学の助教授になられ、その後に当時から世界最高峰として知れ渡っていたプリンストン高等研究所に呼ばれた程の大数学者である。プリンストンではかのアインシュタインとも親しくされており、現在の日本に矢野健太郎先生クラスの数学者はほとんどいないのではないだろうか・・・
そのような本物の数学者が書かれた参考書を読むことができないだけでなく、商業主義に走った間違いだらけのエセ参考書しか読めない今の高校生は可哀想である。

大手予備校・塾の先生方は数学の問題を解くのが得意で大学生になってアルバイトをしてそのまま講師になってしまった人が多く、数学を真面目に勉強したことのある人はほとんどいないようだ。しかし、自分が本を書く以上はもっと謙虚になって勉強し直してはいかがかと思う。数学では問題を解けることと数学を正しく理解していることとは同じではないのだから。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/17 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“定積分と体積計算”について「カバリエリの原理を用いた体積計算」「不等式で与えられた立体の体積計算」と“関数方程式の解法”について「微積分の基本定理に関する注意」「未知関数の形が予測できる場合の解法」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/16 数学Ⅰ

今回と次回は、この数学Ⅰの幾何授業のクライマックスと言える内容の講義になる。
具体的には、「平行線と線分比の定理」「中点連結定理の拡張」「平行線による線分比の移動」を講義した。


私の知る限り、すべての教科書と参考書に載っているこの定理の証明には、相似の性質が用いられているが、それは明らかな間違いである。教科書や参考書には正しいことしか書いていないと思っている能天気な人が多いので注意しておくが、教科書や参考書は間違いだらけである。ところが、それを注意すべき立場にある学校の先生や塾の講師もその間違いに気づいていないレベルなのでどうしようもないのだ。そして子供たちは間違いを正しいと信じ込まされている。
論理性を磨くはずの数学の学習において、嘘を信じ込まされているのではどうしようもないではないか？
実は、この定理に相似の性質を用いてはならない理由は“明らか”なのだ。それは相似の性質を証明するのにこの定理を使うからである。つまり、この定理の証明に相似の性質を使って証明した気になっても、それは何もしていないのと同じことなのである。
この点については、中点連結定理やその拡張についても同じことが言える。

来週は祝日で休室、再来週は５週目休室なので、この休みを使って今日の内容以外にもこれまでの全ての内容をしっかり復習してきてもらいたい。

11/15 数学Ⅱ

今回は「角の二等分線の定理」「中点連結定理」「中点連結定理の利用を学習した。
テキストp.423～425（新課程版 p.427～429）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/10 大学受験数学Ⅱ

今回は“定積分と体積計算”について「体積計算の基礎」「体積計算」「回転体と体積計算」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/10 大学受験数学Ⅰ

今回は、前回に引き続き“独立な試行の確率”から「独立試行と和の法則」「ベルヌーイの定理」「反復試行」「反復試行と点の移動」「反復試行の確率の最大値」「n 回戦と反復試行」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/9 数学Ⅰ

今回は、前回“一次関数と反比例のグラフ”の続きとして、「座標平面上にある三角形」について学習した。
具体的には、「座標平面上の三角形の面積」「三角形の面積の二等分」「三角形の面積比」を講義した。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/8 数学Ⅱ

今回も前回に引き続いて“相似”について学習した。
「円と相似」「円に内接する四角形」「三角形と線分の比の定理の証明」「三角形と線分の比の定理と線分の長さ」「線分の長さの比」を学習した。
テキストp.416，419～422（新課程版 p.420，423～426）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/2 数学Ⅰ

今回は、これまで学習してきた“関数（正比例・反比例）”、“一次関数”、“連立１次方程式と直線”の総まとめとして、“一次関数と反比例のグラフ”を扱った。
具体的には、「一次関数のグラフの特徴」「反比例のグラフの特徴」「一次関数と反比例の値域」「変域に関する問題」「正比例のグラフ」「反比例のグラフと面積」「一次関数のグラフの通る範囲」「関数の問題の一般的注意」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/1 数学Ⅱ

今回から“相似”について、三角形を中心に学習していく。
「相似の位置にある図形」「相似な図形の辺の長さ」「三角形の相似条件」「三角形の相似条件を利用した証明」を学習した。
テキストp.410～415（新課程版 p.414～419 ）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。