2/23 大学受験数学Ⅰ

今回も“正弦定理・余弦定理”について「三角形の基本量と面積」「三角形の基本量と面積・内接円の半径・外接円の半径」「円に内接する四角形」を講義した。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

2/16 大学受験数学Ⅰ

今回は前回に引き続き、“正弦定理・余弦定理”について「正弦定理・余弦定理の利用」「三角形の辺と角の関係」「三角形の決定と三角形の基本量(辺の長さと角の大きさ)」を講義した。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

2/9 大学受験数学Ⅰ

今回は前回に引き続いて、“三角比”について「三角比を用いた三角形の面積の公式」「三角比の値」を学習した後、“正弦定理・余弦定理”について「正弦定理」「余弦定理」を講義した。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

2/2 大学受験数学Ⅰ

今回は“三角関数のグラフ・三角比”について「三角関数のグラフ」「三角関数に関連するグラフ」「（三角関数を用いた）三角比の定義」「三角比の基本問題」を講義した。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

1/26 大学受験数学Ⅰ

今回から、冬休み時間割のときに行った“三角関数の基本公式と三角関数の入った方程式・不等式”の続きを再開する。冬休みからしばらく時間が経ってしまったので、冬休みに学習した「三角関数の基本公式」の復習をした上で、「三角関数の方程式」「三角関数の不等式」「三角関数の連立方程式」を講義した。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

1/19 大学受験数学Ⅰ

前回と今回で、これまでの２次関数の学習の総まとめとして“２次関数の２次方程式・２次不等式への応用”を講義している。今回は「常に成り立つ２次不等式」「２次方程式の解の配置の問題」を扱った。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

1/12 大学受験数学Ⅰ

今回と次回で、これまでの２次関数の学習の総まとめとして“２次関数の２次方程式・２次不等式への応用”を講義する。今回は「２次不等式」「連立２次不等式」「文字係数の２次不等式」「２次不等式の解からの係数決定」を扱った。

宿題は今日の復習はもちろんのこと、これまでに習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

1/9 大学受験数学Ⅰ

今回は前回に引き続き、“２次関数の最大・最小”について、「軸が動くときの最大・最小」「区間が動くときの最大・最小」「最小値の最大・最小」「条件つき２変数関数」「条件なし２変数関数」を講義した。

宿題は今日の復習だけでなくこれまで習った全範囲を復習してゆき、次回総復習テストで合格点をとれるようにすること。
単元ごとの復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなもの）ということを肝に銘じてもらいたい。

1/6 大学受験数学Ⅰ

冬休み時間割ということで、今週も大学受験数学Ⅰは２回ある。

今回は“一般角と弧度法・三角関数の定義”の続きとして“三角関数の基本公式と三角関数の入った方程式・不等式”の中から「三角関数の基本公式」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/29 大学受験数学Ⅰ

今回は“２次関数の最大・最小”について、「２次関数の最大・最小問題の解き方の基本方針」「置き換えによる最大・最小」「定義域が広がるときの最大・最小」を講義した。難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/26 大学受験数学Ⅰ～高校数学とICUの入試問題

冬休み時間割ということで、今週は大学受験数学Ⅰは水曜と土曜の２回ある。
土曜はこれまでの続きとして、難関高校入試と高校数学がクロスオーバーする部分を中心に扱うが、水曜日は難関高校入試でも通常は出題されないものを扱う。ただし、国際基督教大学附属高校(ICU)は除く。はっきり言ってICUは何を出題するか分からない。過去には高校数学Cの範囲の二次曲線を出題したこともあるし、高校の教科書には載っていないながらも難関大学でしばしば扱われるカタラン数を出題したことまである。また、今回から扱う三角関数も過去に出題したこともあるので、ICUで出題される可能性のあるものということになれば、高校数学全部ということになってしまうからだ（むしろICUが純粋な中学数学を出題するという印象は全くない）。

今回は“一般角と弧度法・三角関数の定義”として「一般角の定義」「象限の角」「弧度法の定義」「弧度法と度数法の関係」「弧度法を定義する意味」「三角関数の定義」「三角関数の値」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/22 大学受験数学Ⅰ

今回は前回に引き続いて“式の値の計算法”について、「比例式とその値」「分数式の計算の工夫」を、さらに“いろいろな関数のグラフとその応用”について、「絶対値を含む関数」「分数関数（分数式で表される関数）」「無理関数（無理式で表される関数）」「ガウス記号 [ x ]」「関数のグラフの方程式・不等式解法への応用」を講義した。多くの内容が難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/15 大学受験数学Ⅰ

今回も「数と式」の項目から“式の値の計算法”を講義した。
具体的には「次数下げ（リダクション）」「相反型の式の値」「対称式の利用」「比例式とその値」を学習した。ほとんどの内容が難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/8 大学受験数学Ⅰ

今回は「数と式」の項目から“多項式の約数と倍数，分数式の計算”を講義した。
具体的には「多項式の約数・倍数」「多項式の公約数・公倍数，最大公約数・最小公倍数」「多項式の最大公約数と最小公倍数の関係」「多項式のユークリッドの互除法」「分数式の計算」を学習した。ほとんどの内容が「整数」の時に学習した内容の多項式への応用なので、整数の復習も兼ねてしっかり復習しておいてもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

11/24 大学受験数学Ⅰ

前回に引き続き、“条件つき確率”について「条件つき確率の利用」「原因の確率」「事象の独立と積の法則」と、“確率分布と期待値”について「確率変数」「確率分布・確率分布表」「期待値」「損得と期待値」「反復試行と期待値」を講義した。

「原因の確率」というのは本質的には条件つき確率と同じなのだが、文字通り原因となるものの確率を考えるためにこのように呼ばれる。
「事象の独立と積の法則」については、まず、“試行の独立”と“事象の独立”を混同しないようにしてもらいたい。書名はあげないが、有名な塾の有名な講師の書いた参考書で、この２つを混同しているものがあるくらいなので、間違いやすいのだと思うが・・・　情けない限りである。

新課程から「期待値」は数Ⅱ・Bに入れられたようである。昨年までは数Ⅰ・Aに入れられていたのだが、文科省の滅茶苦茶ぶりはここでも発揮されていた。というのも、「期待値」は数Ⅰ・Aで「確率変数」は数Ⅱ・Bだったのである。何が滅茶苦茶か分からない人のために言っておくと、数学において「期待値」という概念は「確率変数」という概念に対して定義されるものであるので、「確率変数」を教えずに「期待値」を教えることはできないのだ。それを「確率変数」は教えずに「期待値」を教えろというのが、これまでの文科省の立場だったのだ。そのような文科省の意向に沿うように作られた教科書というものが“まとも”であるはずがないことくらいは分かっていただけると思う。
まだ新課程の数Ⅱ・Bの教科書はできていなので分からないが、新課程からは確率変数と期待値を一緒に指導できる教科書に変わっていることを切に願う。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、授業中に話したが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことを宿題にしておく。

11/17 大学受験数学Ⅰ～条件つき確率～ その間違いがわかりますか？

今回は“条件つき確率”について「条件つき確率の定義・確率空間の再設定」「条件つき確率のもう１つの定義」「条件つき確率の利用に関する注意点」「条件つき確率の問題」を講義した。

先日、「教科書や参考書は間違いだらけ」と書いたが、信じられない人も多いだろう。そういう人は「もしかしたら自分は、自分で気づいていないだけで、日本人独特の『お上の言うことを鵜呑みにしてしまう人間なのかもしれない』」と疑ってみた方がいい。

この“条件つき確率”という項目も、ほとんどすべての教科書・参考書・塾テキストが間違っている項目である。
まず、条件つき確率の定義を書いていないもの、これは論外である。数学において定義のない概念を議論することなどできない。特に多いのが、具体例をあげて、「このような確率を条件つき確率という」というスタイルのものだが、これは定義とは言えない。分かりやすくするために具体例を上げるのは大事なことだが、定義は定義できちんと行わなければならないのは当然のことである。しかし、それを行っていないものが多いのだ。
また、間違いとは言えないが、明らかな説明不足であるのが、その定義の仕方である。この説明の足りなさが、“条件つき確率”というものが受験生にとって意味不明で掴みどころのないものになっていると思う。
当室では、条件つき確率を確率空間の再設定を行って定義するのだが、その説明が面倒なのか、結果的に同じ定義であるものでも、ベン図のような絵を書いて面積の割合に見立てるだけで、確率空間を再設定していることにはふれないものばかりである。また、当室では「条件つき確率のもう１つの定義」としている以下の定義を行っているものも多い。

もちろん間違いではないし、こちらの方が便利な場合も多いのだが、これをいきなり条件つき確率の定義にしてしまうと、以下の乗法定理とよばれる式が単なる(※※※)の式変形に過ぎず、“何ゆえに定理たりえるのか？”が全く理解できないはずである。当室では、確率空間の再設定による定義から以下の乗法定理を証明し、乗法定理の式変形として(※※※)を得るという流れで指導している。

ネーミングは意味もなく行われているわけではない。わざわざ“定理”と書くにはそれなりの理由があるのだ。思い起こしてみてほしい。わざわざ“～定理”とネーミングされたものをいくつ知っているか？と。意外に少ないはずである。以前から書いている“中点連結定理”も同じである。意味もなく“定理”と付いているわけではないのだ。重要だからついているのである。そのような重要なものが、定義の式変形で終わりとか、相似の性質より明らか、であるはずがないのだ。このような意味のないネーミングになってしまっているのは、教科書や・参考書がその導入を間違っているからである。


また「条件つき確率の利用に関する注意点」として、以下のような問題を作成して講義した。

 

この考え方の誤りがわかるだろうか？
多分、分からないのではないだろうか・・・
私の知る限り、１冊の例外を除いてすべての教科書・参考書・塾教材にこのような解答が書かれているし、先の条件つき確率の定義における具体例で上記の類の説明がなされることも多いくらいである。しかし、これは明らかな間違いで、答えがあっているだけである。
教科書作成の東大や京大の名誉教授クラスの先生方が、まさかこの誤りに気づいていないとは思えないし、教科書は大学受験をしない生徒にも読ませなければならないものだから、厳密さよりも分かりやすさを重視して書くということには一定の理解は示せるものの、わかりやすさというような主観的なものは人それぞれ違うのだから、分かりやすさを重視して間違ったことを書くというのはやはり違うのではないかと思う。
一方、大手大学受験予備校や塾でそれなりの地位にある大先生がこのような間違いを平気で自分の本に書かれていらっしゃるのは、読者のわかりやすさに配慮したものではなく、明らかに本人の理解不足ゆえのものであるので、情けない限りである。

私自身は、高校生の頃、この解答は誤っているのではないかと思ったのだが、昔の田舎の高校生が手に入れられる参考書には限りもあったし、そのどれを見ても同じスタイルの解答が書かれていたので、自分が間違っているのか？と思いもしたが、条件つき確率の定義からどう考えても明らかに自分が正しいと信じていた。ただ、それを確信にしてくれる本を読んだことがなかった。

そして、月日は流れたが、何十冊という教材に目を通した結果、私が指摘する誤りを同じく指摘しているものはたった１冊、故矢野健太郎先生の「解法の手びき　確率・統計」（絶版）のみであった。
矢野健太郎先生はアラ３０以上の人には参考書ばかり書く大学の先生というイメージが強いかもしれないが、実は数学者として超一流で、東京大学を卒業して東京大学の助教授になられ、その後に当時から世界最高峰として知れ渡っていたプリンストン高等研究所に呼ばれた程の大数学者である。プリンストンではかのアインシュタインとも親しくされており、現在の日本に矢野健太郎先生クラスの数学者はほとんどいないのではないだろうか・・・
そのような本物の数学者が書かれた参考書を読むことができないだけでなく、商業主義に走った間違いだらけのエセ参考書しか読めない今の高校生は可哀想である。

大手予備校・塾の先生方は数学の問題を解くのが得意で大学生になってアルバイトをしてそのまま講師になってしまった人が多く、数学を真面目に勉強したことのある人はほとんどいないようだ。しかし、自分が本を書く以上はもっと謙虚になって勉強し直してはいかがかと思う。数学では問題を解けることと数学を正しく理解していることとは同じではないのだから。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/10 大学受験数学Ⅰ

今回は、前回に引き続き“独立な試行の確率”から「独立試行と和の法則」「ベルヌーイの定理」「反復試行」「反復試行と点の移動」「反復試行の確率の最大値」「n 回戦と反復試行」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/27 大学受験数学Ⅰ ～“お子ちゃま”に真の学力はつかない～

先日、勉強姿勢について苦言を呈したが、本当に“お子ちゃま”というのは浅はかでどうしようもない。

空間図形の問題で昔の東大の問題を扱ったことはここでも紹介したが、中学生でこのクラスに参加している生徒が全員、この問題を復習してこなかったのである。この問題の類題はここ何十年も大学入試では出題されることはなかったが、難関高校入試の必須典型問題となってきたことはここでも紹介した。この問題の類題を出題したことのある高校の数はかなりにのぼるはずである。にもかかわらず、この問題が“東大”の問題であると言っただけで、最初から何もしようとしないのだ。つまり、勉強する気などなく、勉強しないための大義名分を探して、見つかればやらないという姿勢なのである。「どうして復習しなかったの？」と親御さんに訊かれれば、「東大の問題なんて今できなくても関係ないし」と答えるのだろう。この問題とほぼ同内容のものが多くの高校入試問題として採用されたことがあるということはひた隠しにして。

以前、難関高校を希望する中学生がどこまで高校内容にまで踏み込んで学習しておくべきかということについて書いて http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/05/512.html 、それをプリントアウトして読ませたこともあるのだが、全く何も理解していなかった。というより、理解しようとしないのだろう。だが、そういう生徒に限って、学校の定期テストはきちんとお勉強する傾向にある。それは、学校の成績は親御さんが気にするから、やるのだと思う。要するに、自分のために勉強するのではなく、親に言われるから、親の目が気になるから勉強しているのである。そんな気持ちで本当の勉強ができるはずはない。ということで、その当然の結果として、模試の成績はガタガタである。学校のお勉強が本当に本質的なら、学校の成績が良ければ模試の成績も良いはずである。模試の成績がガタガタになるなんてことはないはずだ。本質的な勉強は言い訳を探してやらないようにするくせに、本質的でない勉強はせっせと一夜漬けの暗記をする。そして実力はつかずに模試の成績はガタガタ。一体何がしたいのだろうか？　
私にはまったく理解できない。逆に、彼らの数ヵ月後の受験結果は手に取るように分かる。このまま態度を改めないのであれば・・・


前回から“確率”の学習に入り、確率空間の設定の重要性と事象の排反と和の法則について学習したが、今回は「排反でない事象の和事象の確率」「１つの事象内の余事象の確率・出る数字の最大値の確率」「確率の最大値」「独立試行」「独立試行と和の法則」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/20 大学受験数学基礎Ⅰ～確率空間の設定～

今回から“確率”の学習に入った。
高校数学では中学数学よりも確率の定義が明確になる。その代わり「標本空間」「根元事象」といった言葉も理解しなければならなくなるが、多くの人が感じる“何となくしっくりこない”という確率という分野への印象が薄れてくる。そして、確率というものは、例えばサイコロの１の目が出る確率が６分の１という誰もが疑いを持っていないようなものですら、「初めから決まっているもの」ではなく、人為的に決める関数であるということが分かってくる。
ある問題（現象）の確率を考えるということは，その問題（現象）にあてはまるであろうモデルを設定して、そのモデルについて確率計算をしているということであるので、モデルが妥当なものであるかどうかは結果で判断するしかない。確率を考えるときには、初めに「全事象の要素は何個だと考えたか」、「何を同様に確からしいとしたか」など、自分が設定した確率空間を明確にすることが大切なのである。
だから、今回は「確率空間の設定」についてかなりの時間を割いて、問題をやりながら説明した。そして、確率空間の設定の仕方によって、求める確率の値が異なってしまうという例も問題として扱った。その他に、「事象の排反と和の法則」についても講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/7 大学受験数学Ⅰ～東大と早実の空間図形の問題～

前回に引き続き、今回も“空間図形”を扱った。
この分野で扱う問題が高校入試の問題が中心になってしまうということの説明については、先週のブログ http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/10/929_3.html を参照していただきたい。具体的に今回は、「切断面・展開図」「切断面の利用」を講義した。
できるだけ高校生向けに用意されたものをと考えて、「切断面・展開図」については、この新課程に合わせて出版された参考書・問題集の中から類題を扱ってみたが、この問題も過去に灘、海城高校などで出題されたことのある問題で、結局は高校入試の問題の焼き直しに過ぎなかった。
「切断面の利用」では、昭和48年の東大文系の２次試験の問題を扱ってみたが、この問題も難関高校受験者には必須の内容であって、高校入試においては難問とは言えないレベルの問題で、武蔵、立教、筑波大附属高校などでほぼ同じ問題が出題されたことがある。

「切断面の利用」としてもう１問、早稲田実業の過去問を扱ったが、こちらの方が東大の問題よりも難しいと思う。誘導がついていなければ間違いなくこちらの方が難問である（もちろん、ベクトルの概念を用いてもよいなら簡単である）。

宿題はいつも通り授業の復習をしっかりとすること。そして、早稲田実業の問題については、（１）での考え方が身に付いたことの確認として、（２）を自分でやってみること。もしできなければ、（１）が理解できたことにはならないので、何度でも（１）をやり直してみること。
そして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。