2/23 大学受験数学Ⅱ

今回は“数・式・論理”について、「整数問題解法の基本方針」「 1 の虚立方根 ω の性質」「代数的数・代数的整数」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

2/16 大学受験数学Ⅱ

今回は“数・式・論理”について、「有理数と無理数」「不定方程式の解法  ax+by=c 型」「不定方程式の解法  axy+bx+cy+d=0 型」「不定方程式の解法  大きさの評価」「不定方程式の解法  ax^2+2hxy+by^2+cx+dy+e=0 型」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

2/9 大学受験数学Ⅱ

今回は“数・式・論理”について、「式の値」「有理数・無理数の定義」「log102 が無理数であることの証明」を講義した。
日本有数の難関大学に合格するような人なら誰でも「√2 が無理数である」ことを証明できる。ところが、そのような人に「無理数って何ですか？（無理数の定義は何ですか？）」と尋ねると、答えられないことがよくあるのには驚かされる。その瞬間に、この人は過去に同じ問題や似た問題をやったことがあるから「√2 が無理数である」ことを証明できているだけであって、本質的には何も分かっていないということが判明してしまうのである。「無理数が何であるかを知らないのに、√2 が無理数であることを証明できたところで何の意味があるのだろう？」と自分自身に疑念を抱かなくてはならないはずだ。私の生徒はそのような人にはなってもらいたくない。

宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

2/2 大学受験数学Ⅱ

今回は“数・式・論理”について、「合同式とその応用」を講義した。
ほとんどが、大学受験数学Ⅰ“整数”で扱った問題と同じ問題もしくは類題であったが、完全に忘れてしまっている生徒も数名いたので、しっかり復習しておいてもらいたい。

1/26 大学受験数学Ⅱ

今日はまず最初に、数学Ⅱ・B範囲の総復習テストを抜き打ちで行なった。問題はテキストと全く同じ問題である。結果は燦々たるもので、０点が数名。しかし彼らは普段平気で志望校に難関大学の名前を口にする。私には意味がよく分からない。

まず、前回講義した「イデアル」について復習した。もちろん、「イデアル」は高校数学の教科書や普通の参考書・問題集には出てこない。ということは、前回扱った問題 ↓ は「イデアル」を知らなくても解けるはずである。ちなみに、この問題は名著として名高い昔の「大学への数学・新作問題演習」（もちろん絶版）に掲載されている有名問題である。

そこで、「イデアル」を使わずに普通の受験生が解く方法を考えてもらった。そのことによって、なぜ「イデアル」をわざわざ教えたのかということの意味が分かってもらえると思ったからである。
普通の受験生が解く方法は、多項式の次数に着目して、かける式 P(x) , Q(x)  の未知係数を文字で設定して、未定係数法によって解く方法であろう。しかし、この方法はかける式の次数を少しずつ上げていかなければならず、もしかける式の次数が高い場合には中々正解にたどり着けないことになる。今回は結果的にかける式は１次と２次で上手くいくからそのようなことは起こらないが、起こる場合もありうるということである。さらに、未定係数法で解くとかなり計算が煩雑になるのは解かなくても想像がつく。そこで、f(x) と g(x) が因数分解できることに着目して、f(x)=0 , g(x)=0 となるような整数 x を代入することで、方程式に帰着する方法を思いつく人もいると思う。この方法なら未定係数法よりもかなり計算が楽になるので、より良い解法と言えると思う。ただ、問題文には「P(x) , Q(x) を求めよ」とは書かれていないことに注目してもらいたい。上記の２つの方法はどちらも 「P(x) , Q(x) を求める方法」である。そこで、前回の授業で解説した「イデアル」を用いた解法が、「P(x) , Q(x) の存在」のみ示すために計算がほとんどいらず非常に明快である（残念ながら、この方法は上記「大学への数学・新作問題演習」にも載っていない）ので、憶えておいてもらいたい。

今回は、さらに「イデアル」について理解を深めてもらうために「２つの整数が生成するイデアル」の重要性質に関する問題を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

1/19 大学受験数学Ⅱ

今日も、冬休み授業から始めた高校数学発展講義（数学理文共通分野の総復習＋発展的内容）を進めていくつもりだったが、センター試験同時模試を受けに行っている生徒もいたし、これまでの講義で何人かが同じ日に休んでいたことがあったので、その時の内容を復習することにした。ただ単に同じ講義を私が繰り返すのでは、その時受講していた生徒に申し訳ないので、その時受講していた生徒に講義内容を説明してもらおうとした。英語でも数学でも当室では“完璧な授業の復習”とはその内容を他人に説明できることとしているからだ。しかし、残念ながら誰も説明できなかったので、結局私がもう一度講義することになった・・・
復習した内容は「整式の除法・因数定理の拡張（テイラー展開）」「因数定理の補助定理」で、新しく講義したのは「イデアルの利用」。


宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

1/12 大学受験数学Ⅱ

今日は12/29 の授業でやり残していたベクトルの「スカラー３重積」について講義した後、冬休み授業から始めた数学理文共通分野の総復習＋発展的内容を行った。具体的には「因数定理の補助定理」の復習、「高次方程式の解法・高次式の因数分解」「ユークリッドの互除法」「ユークリッドの互除法と互いに素」。
今後はこのスタイルで授業を進めていく。


宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

1/9 大学受験数学Ⅱ～総復習テスト・答案（記述式）の書き方

今日は抜き打ちで数学Ⅰ・A範囲の総復習テストを行い、その場で採点して、自分ではできるつもりになっていても、それがいかに不確かなものであるかということを生徒達に自覚してもらった。

もちろん、すべての問題は大学受験数学Ⅰ（数学Ⅲ）の授業で扱ったものであり、初見の問題は１問たりともない。
テストを配った時の生徒たちの反応は、「これくらい楽勝」といったものであったが、採点は完全な記述式で行い、本人が分かっているつもりでもそれが採点者に伝わらない部分はすべて減点（もちろん本番の採点はこうである）したところ、最高点がたったの60点、以下、50点、10点で、何と 0点が３人もいた。

その後、個別に答案用紙を見せながら、何を言いたいのか採点者に伝わらない部分や、論理的な欠落点を細かく指摘した。
中学までの数学の答案とは違い、大学受験での答案（記述式）は、式の羅列では認めてもらえない。答案が１つの文章として読める、つまり、式と式の間が同値記号や接続詞などできちんと繋げられていなければならない。確か、以前、東大新聞でも採点官の先生が指摘されていたことがあったように思う。


今日指摘された注意点をこれからの学習に活かしてもらいたい。

1/6 大学受験数学Ⅱ

冬休み時間割ということで、今週も大学受験数学Ⅱは２回ある。

扱った問題は“数・式・論理”から「整式の整除に関する問題」「整式の除法・因数定理の拡張（テイラー展開）」「因数定理の補助定理」「高次方程式の解法・高次式の因数分解」。


宿題は今日の復習をしっかりとして、今日扱った問題は
“いつ何時(なんどき)誰に訊かれても瞬間的に解ける”←猪木さんの“いつ何時誰の挑戦でも受ける”のパロです
ようにしておくこと。

12/29 大学受験数学Ⅱ

前回“ベクトルの外積”について講義したので、今回はベクトルの内積と外積の応用を中心に講義した。
具体的には「ベクトルの問題の考え方の基本方針」「三角形の面積の内積表示・外積表示・成分表示」「正射影の定義」「ベクトルの正射影とその成分」「法線ベクトルの定義」「ベクトルの正射影の利用」「内積と外積の利用（ねじれの位置にある２直線の共通垂線の長さの求め方）」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/22 大学受験数学Ⅱ

これからしばらくの間、土曜のこのクラスでは、以前学習した内容の中で難関大学を受験するには足りていない項目について講義していくことにする。
今回は“ベクトルの外積”について講義した。
もちろん、ベクトルの外積は文科省の高校数学課程には入っていないし、通常のレベルの参考書や問題集では扱われないが、難関大学を受験する生徒にとっては必須事項と言える。
ただ、外積を知っている多くの生徒は、外積の成分表示というか成分計算の方法を知っているだけで、外積の定義を憶えていないことが多い。それでは外積の利用範囲は「２つのベクトルに垂直なベクトルを求める」こと位に限られてしまうだろう（し、そもそも、定義も知らない概念を少しばかり使えたところで、そんなことに何の意味もないということに気づかないといけない）。
そこで、「外積の定義」から始め、「外積の計算規則の証明」「外積の成分表示の証明」「外積の計算練習」「２つのベクトルに垂直な単位ベクトル」「外積の利用（空間内の三角形の面積の求め方）」「外積の利用（空間内の点と直線の距離の求め方）」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/15 大学受験数学Ⅱ

今回は“積分法の応用”として「区分求積法」を前回よりも一歩踏み込んで学習した。また、「運動学」についても講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/8 大学受験数学Ⅱ

今回は“積分法の応用”として「定積分の関数の近似への応用」「定積分の不等式への応用」「リーマン積分の定義」「区分求積法」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/24 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“関数方程式の解法”について「未知関数の形が予測できる場合の解法」「方程式を微分する場合の解法」を講義した。
関数方程式に関する問題は、東京大学をはじめとする難関大学での出題率が高い項目であるが、この項目の基本～標準問題はほとんどの参考書・問題集で扱われていない。結果として、入試問題での正解率も下がってしまっていると思われるので、前回と今回で扱った問題をしっかり復習して、このレベルの問題は高１～２で完璧に得点できるようにしておいてもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/17 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“定積分と体積計算”について「カバリエリの原理を用いた体積計算」「不等式で与えられた立体の体積計算」と“関数方程式の解法”について「微積分の基本定理に関する注意」「未知関数の形が予測できる場合の解法」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/10 大学受験数学Ⅱ

今回は“定積分と体積計算”について「体積計算の基礎」「体積計算」「回転体と体積計算」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/27 大学受験数学Ⅱ

今回は“定積分と面積計算”について「カバリエリの原理」「２曲線で囲まれる部分の面積」「曲線と x 軸とが囲む部分の面積の総和」「２曲線の囲む部分の面積の総和」「２曲線の囲む部分の面積の総和」「β関数の公式」「β関数の公式の利用」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/20 大学受験数学基礎Ⅱ

今回はまず“微積分の基本定理”について講義した。
定積分を教科書に書いているような単なる（原始関数を用いた）計算式ではなく、「連続関数 f(x) と x 軸と x軸に垂直な２本の直線で囲まれる図形の符号付き面積」という概念として定義することによって、微積分の基本定理の本質を学習できたと思う。
さらに、定積分を計算するときの注意として、やみくもに原始関数を用いるのではなく、連続関数 f(x) と x 軸と x軸に垂直な２本の直線で囲まれる図形」がどのようなものかをまず考えることによって、煩雑な計算をしないで済むことが多々あるということを解説した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/13 大学受験数学Ⅱ～微積分の基本定理～

今回は前回残してあった常用対数の問題を学習した後、“積分”に関して不定積分と定積分の定義を講義した。
“積分”に関しては、不定積分と定積分とそれらの間の関係を示す“微積分の基本定理”について、きちんと書かれているものがほとんどないので、オリジナルプリントを用いて説明した。
時間がなく、微積分の基本定理については証明まではできなかったが、次回あらためて行うことにする。
世の中にある教科書や参考書はどれもこれも、不定積分に定数を代入して引き算したものが定積分であるとして、初学者が「不定積分の範囲を定めたものが定積分である」と勘違いするのを誘発しようとしているかのような訳の分からない書き方をしている。もし本当にそれで良いのならば、ニュートンやライプニッツはなぜ“微積分の基本定理”を考え出す必要があったのか、そしてなぜこの定理が数学史上３本の指に入る程の大発見と言われているのかということの説明がつかないではないか！？
当室の生徒には、不定積分と定積分の定義とそれらの間の関係を示す“微積分の基本定理”を正しく学んでもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
そして、プリントの微積分の基本定理の証明を自分なりに読んでみること。

10/6 大学受験数学Ⅱ

今回は対数関数を学習した。テキストの途中に、常用対数の問題が割り込んでいたが、授業の流れを重視して、それは飛ばして、テキストの対数関数に関する問題を全て扱った。

テキスト p.184～189，193。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。