数学Ⅵ ～祝・数学全国模試１位 そしてその極意は～

月曜日に行っている数学Ⅵはシークレット授業？ということで、授業内容については当ブログでも触れていないが、昨年は中央大学法学部の数学入試問題で的中があったことのみお伝えした（http://eisuken2012.blogspot.jp/2014/02/210.html）。

その時にも触れたことだが、当室で行っている授業内容を完璧に復習しておいてくれればそれだけで、ほぼどこの大学でも合格点を取れるということは間違いない。今年度の数学Ⅵ受講生にもこのことはずっと言い続けてきたが、数学Ⅲ、Ⅳの総復習テスト（テキストと全く同じ問題）ですら安定して８割を取れる生徒は秋まで一人もいなかった。しかし、秋以降一人だけ総復習テストで安定して８～９割を取れるようになってきた生徒（S君）が出てきたので、これは中々見どころが出てきたなと思っていた。数学Ⅲ、Ⅳのテキストの問題はすべて標準問題だし、授業で解説もしているのだから、それと全く同じ問題での総復習テストなんて満点続出でも不思議ではないはずなのだが、現実にそんな生徒はほとんどいないからだ。
実際、S君は11月の一橋オープン模試（河合塾）で数学全国１位（総合全国２位）になった。もちろん、それまで（総復習テストで安定して８～９割を取れるようになるまで）S君はもっとレベルの低い模試ですら成績優秀者に載ったこともなかった。

先日、某大手予備校有名数学講師の「数学は未知の問題演習をしないといけない」といった内容の記述を見かけたが、目の前にいる生徒の現実の姿（学力）を見ていない上に、できるようになっていない生徒をできるようにしたことのない者の見解だと強く思った。
既知の問題すらできるようになっていない生徒が、未知の問題演習をする意味などあるはずがないではないか！！
数学全国模試でトップになる極意は「第一に、習った標準問題を完璧に習得すること」という当たり前のことなのだ。この当たり前のことをほとんどの受験生はできないし、大手予備校の有名講師ですら間違ったことを指導してくれるものだから、当たり前のことができるだけで全国トップクラスに躍り出ることができるのである。
この有名講師に大手予備校で習ってきた生徒達（したがって過年度生も多いにもかかわらず）のほとんどが、秋以降こんな小さな個人塾で習ってきたS君（現役）に全く歯が立たなくなっているのだから、どちらの指導の姿勢が正しいかは火を見るよりも明らかだと思うのだが・・・

それでもやっぱり、保護者も生徒も大手予備校・塾が大好きだ。ブランドばかり見て本当の姿を見ないのは日本人の大きな特徴だなと強く感じる。

3/6 数学Ⅱ 統計は数学ではないが・・・東大はどうする？

今回から今年度の数学Ⅱの開始である。
２年前の教科書改訂から中高ともに前面に押し出されている統計分野であるが、この内容を授業で扱うときは憂鬱である。なぜなら統計は数学ではないからだ。
今回は“資料の活用”について「階級」「度数分布表」「ヒストグラム」「度数折れ線」「相対度数」「相対度数分布表」「代表値」を講義した。あまりの内容の薄さに生徒たちも失笑していた。

この統計分野については、個人的に、来年度の東京大学の募集要項の発表を注目している。これまでも高校の数学の教科書には統計分野は掲載されていたが、選択科目（数学BやＣ）であったこともあり、東京大学は募集要項において統計分野の出題はしないことを明言してきた。しかし、今回の教科書改訂でついに統計分野が必修である「数学Ⅰ」に導入されてしまったのだが、それに対して東京大学がこれまで通り統計分野の出題はしないと明言するのかどうかを注目している次第である。

2/10 数学Ⅵ 中央大学法学部数学試験問題的中

月曜日に行っている今年度の数学Ⅵは、シークレット授業？ということで、授業内容については当ブログでも触れてこなかったが、昨日中央大学法学部を数学受験した生徒が入学試験の帰りに喜んで塾に立ち寄り、「一昨日授業でやった問題が出ました」と報告してくれたので、一応書き残しておくことにする。
一昨日、本当は「確率と極限」を扱うつもりだったのだが、２日後に中央法の試験があると聞き、過去問を見せてもらったところ「確率と極限」の問題は絶対に出ないと判断して、急遽、出る可能性の高いテーマの中から重要問題を扱った。
実際に授業で扱った問題は、中央法で出た問題よりも少し難しい（と言っても必須重要）問題だったが、これまでも授業で何度か扱っている問題なのにその生徒はできなかった。ということで、まぁ、やっておいて良かった。
今回、的中したと喜んでもらえたのは大問３つの内の３番目だったが、１番も２番も過去の授業ではもちろん扱っている問題であり、その生徒もできたそうである。
授業内容を完璧に復習しておいてくれれば、普通に満点が取れるということであり、それができる生徒なら、文系でも数学受験で社会受験の人を圧倒できるということである。

そういえば、最初に慶應女子に合格した生徒は、直前に教えた問題が小問で５つも的中して大喜びしてくれたが、いつもいつも直前に同じ問題を当てられるわけではもちろんないし、そんなことを目指しているわけではない。ただ、授業では最重要必須問題を扱うように心がけているだけである。

7/31 数学Ⅲ～ユークリッドの互除法～

夏期特別時間割の水曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅲの授業を実施している。
第２回目は“素数・素因数分解・ユークリッドの互除法・記数法”の続きとして「互いに素な整数の個数」「「互いに素」の利用法」「n! が素数 p で割り切れる回数」「ユークリッドの互除法の原理」「ユークリッドの互除法」を講義した。


小学校で最小公倍数の求め方、最大公約数の求め方を習って、何問かその練習をしてできるようになると、普通の思慮深くない者は「自分は最小公倍数や最大公約数の求め方は完璧にマスターした」と勘違いをする。本当はただ単に、極めて求めやすい問題だけを練習させられていただけに過ぎないというのに・・・
我々に最もなじみ深い数である“整数”は約30年前に文科省（当時は文部省）によって、初等教育過程から外された。それ以来、ほとんどの思慮深くない普通の人は、極めて求めやすい最小公倍数や最大公約数しか求めたことがないまま、何の疑問もなく数学の学習を終えることになっている。

ところが、2000年以上も前のギリシャ時代の人々はそうではなかった。非常に求めづらい最大公約数に対してその求め方を編み出し、習得していたのである。それが、ユークリッドの互除法である。例えば，31411 ,72619 の最大公約数を求めることを考えてみてもらいたい。我々が小学校で習う方法では全く太刀打ちできないことに気付けるはずだ。両方を割ることのできる共通の約数が簡単には見つけられないからだ。
このような問題を解決する（その効用はそれだけではないが）画期的な手法であるユークリッドの互除法が高校数学ⅠAに復活したのは喜ばしいことである。ユークリッドの互除法を知っていれば、どのような２つの自然数の最大公約数も（従って、最小公倍数も）求めることが可能である。

ユークリッドの「原論」は、世界で２番目に多くの人に読まれた本と言われているように、ギリシャ時代の人々は今と違って、非常に勤勉だったようである。当時は印刷技術もなかったのに、どうやってそれほど多くの人に読まれたのかというと、書き写して勉強したようだ。2000年以上経って、当然ながら進化しているはずであり、知的レベルもずっと上がっていなければならないはずの現代人には、そのような勤勉さは微塵も感じられないが、せめてユークリッドの互除法を理解して使えるようになるくらいのことはあってしかるべきであろう。（すでに東京大学の入試問題ではユークリッドの互除法がテーマとなる問題が出題されている。）


 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

3/9 新年度 数学Ⅳ

今日から新年度の数学Ⅳの開始である。
内容は高校数学Ⅰ“データの分析”と高校数学Ⅱ・Bが中心となる。

今日は“データの代表値・データの整理”について「データの代表値（平均値・中央値・最頻値）」、「度数分布表・ヒストグラム」、「相対度数・累積度数・累積相対度数」を講義した。

この単元は、はっきり言って“数学”ではない。授業するかどうかもかなり迷った。ただ、高校数学Ⅰにねじ込まれたことで、センター試験にも必修問題として出題されることが確実となっている以上、やらないわけにはいかず、やることにした。
この単元は“統計分野”として、何十年もの間、高校数学課程に取り入れられてきたが、これまでは選択科目であったし、主要大学の入試要項には「統計分野の出題はしない」ことが明記されてきた。にもかかわらず、今回の指導要領改訂において文科省はこの統計分野を数学Ⅰ(必修科目)に
入れるという、これまでの大学側の意向も無視した“暴挙”に出たのは嘆かわしいことである（文科省が経産省の圧力に屈したとの噂もある）。今後、この統計分野がセンター試験の数学Ⅰ・Aにおいてどの程度出題されるのか、主要大学の２次試験で出題されることになるのか、今回の指導要領の下で学習する高校生はある種の“実験台”にされることになるわけである。

宿題は、教材の基本事項をしっかりと読んで憶えるべきことを憶えて、教材に記載した注意すべき点に注意しながら、授業で扱った問題をスラスラ間違わずにできるようになるまで何度でも繰り返すこと。そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。入試数学で得点できるようになるには、確実にできる問題を一つでも多く増やしていくことが重要であって、できたりできなかったりするような問題は必要ないということを肝に銘じてもらいたい。

10/7 大学受験数学Ⅰ～東大と早実の空間図形の問題～

前回に引き続き、今回も“空間図形”を扱った。
この分野で扱う問題が高校入試の問題が中心になってしまうということの説明については、先週のブログ http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/10/929_3.html を参照していただきたい。具体的に今回は、「切断面・展開図」「切断面の利用」を講義した。
できるだけ高校生向けに用意されたものをと考えて、「切断面・展開図」については、この新課程に合わせて出版された参考書・問題集の中から類題を扱ってみたが、この問題も過去に灘、海城高校などで出題されたことのある問題で、結局は高校入試の問題の焼き直しに過ぎなかった。
「切断面の利用」では、昭和48年の東大文系の２次試験の問題を扱ってみたが、この問題も難関高校受験者には必須の内容であって、高校入試においては難問とは言えないレベルの問題で、武蔵、立教、筑波大附属高校などでほぼ同じ問題が出題されたことがある。

「切断面の利用」としてもう１問、早稲田実業の過去問を扱ったが、こちらの方が東大の問題よりも難しいと思う。誘導がついていなければ間違いなくこちらの方が難問である（もちろん、ベクトルの概念を用いてもよいなら簡単である）。

宿題はいつも通り授業の復習をしっかりとすること。そして、早稲田実業の問題については、（１）での考え方が身に付いたことの確認として、（２）を自分でやってみること。もしできなければ、（１）が理解できたことにはならないので、何度でも（１）をやり直してみること。
そして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

9/29 大学受験数学Ⅰ～新課程の“空間図形”分野について

今回は前回の“軌跡と作図”で１問残っていた問題「２次方程式の解の作図」を講義した後、“空間図形”に入った。
これまでも、高校数学Ⅰ・Aには難関高校受験範囲とかぶる部分が非常に多い（というより、ほとんど）と書いてきたが、今回の“空間図形”はその中でも特別とも言える分野だと思う。この分野は本当に長い間、高校範囲からは除外されてきた。空間図形は大学受験でも出題されているではないかと思う人も多いと思うが、ここで言う“空間図形”というのは、空間ベクトルや空間内の図形の方程式を用いないもののことであるので、長らく大学受験に出題されることは基本的になかったのだ。他大学に比べて空間図形の比率が高いとされている東大でも、何十年も前には出題していたものの、ここ30年くらいは「中学入試や高校入試をしていれば知ってて当然だよね」的に少しふれる程度の問題はあるものの、純粋な“空間図形”の問題は出題していないといっても間違いにはならないと思う。だから、この分野の大学入試の過去問がほとんどなく、この新課程に合わせて出版された数少ない参考書・問題集を調べつくしても、難関高校入試問題に比べてかなり簡単な問題しか載っていない。そこで、今回のテキストの問題ははかなりの部分を高校入試問題を用いることにした。やったことがない人は信じられないかも知れないが、何十年も前の東大の“空間図形”の問題よりも、難関高校の“空間図形”の問題（今回扱ったのは灘、早稲田実業、青山学院）の方がはるかに難しい。この分野の大学入試問題がどうなっていくのか、結果が出始めるのは２年半も後のことであるが、動向を見守りたい。個人的には、主要大学では出題されないと思っている。

今回は、「正四面体の立方体への埋め込み」と「正八面体の立方体への埋め込みと正四面体への埋め込み」を講義した。これを知っている人と知らない人とでは、正四面体や正八面体の扱いが全く違ってくる。今回はオリジナル問題を用いたが、過去の高校入試では開成・青山学院など多くの難関高校で出題されている重要問題である。また、大学入試では、2008年の東大第３問（１）で、これを知っていれば数十秒で解けてしまう問題が出題されている。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

9/15 大学受験数学基礎Ⅰ

今回は“軌跡と作図”から「移動する定線分の中点の軌跡」「円外の点から円に引いた接点の軌跡」「面積比から求める点の軌跡」「線分の分割の作図」「線分の長さの最大・最小の作図」「面積の二等分線の作図」を講義した。

“軌跡と作図”は今年からの新課程で数学Ⅰ・A として追加された項目の１つであるが、やはり、他の平面図形の項目同様、高校生よりも難関高校受験予定の中学生にとって重要な内容だろう。センター試験ではその性質上、作図を課すことはできないだろうし、センターでなくても、軌跡については今回の初等幾何的なものよりも、数学Ⅱの“図形と方程式”で扱う代数幾何的なものの方が出題者には好まれるであろうから、これらの内容が主要大学の２次試験で出題される可能性は極めて低いと思う。一方、高校入試においては、作図は好んで出題されるし、軌跡の問題を出題しようとするならば、中学生が代数幾何的手法を習っていないために、初等幾何的なものしか出題することができないからだ。
そうは言っても、高校生も前回の授業で概要を説明した時に扱った、「基本の軌跡」と「基本作図」は考えなくてもすぐにできる様にしておかなければならない。難関高校受験予定の中学生は言うに及ばずである。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

9/6 Yahoo! トップページ プレジデントファミリー広告

モバイル版 Yahoo! トップページのプレジデントファミリー8月号広告に私の取材記事が掲載されているとの連絡をいただいた。半信半疑だったが、本当に Yahoo! トップページに出ていて驚いた。
いつまでリンクが有効かは不明だが、ブログを読んでくださっている方の中には興味を持たれる方もいらっしゃるかもしれないので、一応リンクを貼っておくことにした。

http://zasshi.news.yahoo.co.jp/article?a=20120904-00000001-pfamily-soci


リンクが終了してしまったら、取材記事をブログにupすることにしようとは思っているが・・・

7/25 大学受験数学Ⅱ ～“図形と方程式”難関高校受験生にも必要とされる内容～

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅱ第１回目は“図形と方程式”から「線分の分点の座標」「三角形の重心の座標」「２直線の平行・垂直条件（標準形）」「２直線の平行・垂直条件（一般形）」「平行な直線・垂直な直線の方程式」「文字を含む２直線の平行・垂直」「点と直線の距離」「座標平面上の三角形の面積」を講義した。

この分野は現在の文科省指導要領で高２ということになっているので、一応、復習も兼ねて大学受験数学基礎Ⅱ“図形と方程式”の第１回目としたが、文科省の指導要領の中でも最もダメなところだと思う。なぜならば、これらを使う問題は難関高校では普通に出題されている内容であり、難関高校を受験する高校生なら絶対に知っておきたい内容ばかりであるからだ。 そこで、今回は難関高校受験予定および難関私立中学在学中の中学３年生にも特別に参加してもらった。全ての事項に細かく証明を行ったが、中学生はこれらは納得してもらうだけでよく、発展公式として使えるようになってもらいたい。ただし、難関大学受験志望の高校生はいつでも自分でこれらの証明を再現できなければならない。かつては、教科書に出てくる基本公式の証明はできなくても使えればよいというのが、大学受験界での常識であったが、その常識は1999年以降覆っている。東京大学が理・文共通問題として、三角関数の加法定理を証明させる問題を出題したからである。



宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

3/31 大学受験数学Ⅰ

今日は「多項式の除法」「因数定理と剰余定理」を講義した。
現在のゆとり教育課程になってからは数学Ⅱの範囲とされている因数定理と剰余定理だが、十数年前までは数学Ⅰ範囲であった。十数年前まで高１生（中高一貫私立なら中３生）にできていたことが、文科省の決めた指導要領によって今の高１生にできなくなるというのは論理的に考えてありえないことだし、できれば早くから使いこなせるようになれると便利な定理でもあるので、新高１生中心のクラスだが講義することにした。

ちなみに私がこの定理を知ったのは、小学５年生の時だったと思う。こんな便利な定理があるのか！と感心したのを覚えている。当時、高次多項式の因数分解にてこずっていた私に、知り合いの大学生が「こんなの教えちゃっていいのかなぁ～」と言いながら教えてくれたのだが、その後は因数分解する時の武器としてとても重宝した。その大学生は国立大学の学生ではあったが、地方の知名度の低い大学であったので、当時はお世辞にも学力が高いとは言えなかったが、今となっては、因数定理を他人に説明できる大学生がどれほどいるのか疑問である程に大学生の学力は地に落ちているから、その大学生は立派なものだったのだと思う。
それどころか、東大受験専門を謳う某有名塾の数年前までのテキストは因数定理を間違っていたことで有名である。この塾は日本の大学受験の最高峰東大の合格者を中心に構成されているというのに、こんな基本定理を間違えるというのは信じられないことなのだが、現実は現実である。受験テクニックはあっても学力はないということなのだろうか・・・さらに信じられないことに、後に東大に合格する多くの生徒がその間違いに気付かずにテキストの間違いが直されていなかったということである。東大の先生が言うことは全部正しいに違いないと信じ込んでしまったのだろうか？　その程度にしか数学を理解していなくても受験テクニックを知っていることで合格できてしまうのが東大の入試問題ということなのだろうか？　だとするならば、日本が生んだ大数学者の１人佐藤幹夫先生がおっしゃられた様に「東大をはじめとする大学の数学の入試問題はひどいテストだ」というのが正しい意見ということになってしまうだろう。

当室の生徒には、まず定義と定理を正しく理解し、その上で憶えてもらいたい。
宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

3/31 大学受験数学Ⅱ

今日は「３次関数の最大・最少」を学習した。
テキストでいうとp.214～219を学習した。
文字を含む区間における最大・最小や文字係数を含む場合の最大・最少は２次関数の時とほとんど同じ考え方で、グラフをかけばすべてが解決する。
２次関数と違って、グラフをかくには最初は増減表が必要であるが、３次関数の形は４通りしかないので嫌でも覚えてしまう。ただ、最大・最少を吟味するには既に知られた３次関数の有名事実は憶えておいて使った方がかなり見通しがよくなる。
ということで、多くの参考書には載っていないようなのだが、「３次関数の四等分則」とその使い方を説明しておいた。これはかなり使える性質なので必ず憶えておいて欲しい。実際、これを知っているのと知らないのとでは大きな差が出る問題が過去の東大入試でも出題されている。（東大は思考力を問うとか何とかきれいごとを言っているわりには、この問題のように知っているか知らないかで大きく差のつく問題も平気で出題するのだ。）

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。