5/31 数学Ⅱ

今日は前回の「平方根の乗除」に引き続き、平方根の計算に必要な事項を学習した。
テキストでは p.108～113（新課程版 p.112～117）にあたる。

宿題は今日の授業の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

5/26 大学受験数学Ⅰ 「勉強なんて社会に出たら関係ない」というのは本当か？

今回は前回に引き続き“２次方程式”から「２次方程式が実数解をもつための条件」「２次方程式の解と係数の関係とその利用」「２次方程式の解の公式を用いた２次式の因数分解」「完全平方式」を講義した。

「２次方程式が実数解をもつための条件」を扱う問題では問題文の表現に十分に注意しなければならない。“異なる２つの実数解”と“異なる実数解”では扱いが違うということである。これは受験レベルでは常識なのであるが、知らない人も多い。その原因は簡単で、教科書はもちろんのことほとんどの参考書に明記されていないからだ。
日常生活では“異なる”と言えば２つ以上のものに対して言うのが当たり前だし、実数解が高々２個しかない２次方程式に対してこの言葉を使えば、それは“異なる２つ”を表していると考えるのが当然と考えがちだが、正しくはそうではない。数学で“異なる実数解”という場合、それは重解も含むと考えるのである。
是非とも忘れないでもらいたい。

２次方程式の解と係数の関係については、10年位前までは中学３年生の内容であったが、現在の文科省の指導要領では高校２年生の内容となっている。本当に文科省というのは一体何のために存在しているのだろうか？
ご存じない方も多いと思うが、日本の「ゆとり教育政策」は40年近く前から計画されて少しずつ準備され、20年近く前に本格的に実行された。それがどうしようもないレベルにまでなり、社会問題にまでなったのが10年位前の指導要領だった。「円周率が３」「小学生は台形の面積の公式を習わない」といったものが報道されたが、この「２次方程式の解と係数の関係」が高２内容にされたのもその時期だったと思う。
日本が「ゆとり教育」に舵をきったのに対して、韓国は逆に「詰め込み教育」を認めた。40年たった現在、国連のトップも世界銀行のトップも日本人ではなく韓国人である。
勉強なんて社会に出たら関係ないという大人は多いが、果たして本当にそうなのだろうか？
「社会に出たら勉強だけでは駄目だが、（特別な才能でもない限り）最低限、勉強はできないといけない」というのが正しいと思うのだが・・・

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくることと、「体系数学２代数編～場合の数～」を学習しておくこと。

5/26 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の「ベクトルの終点の軌跡」の続きとして「ベクトルの終点の存在範囲」を学んだあと、「法線ベクトル」「２直線のなす角度」「円のベクトル方程式」を学んだ。テキストではp.325～328。
宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/25 数学Ⅰ～文科省の定める指導要領・教科書について～

今日は「文字式の基本（３）」を学習した。
前々回学習した「文字式の基本（２）」の続きにあたる。
単項式どうしの乗除から始め、単項式と多項式の乗除（除法は単項式で割る場合のみ）、分数式の乗除、多項式どうしの乗法を学習した。
多項式の乗法については、まだ中学１年生の５月なので、乗法公式を憶えさせることよりも、多項式の乗法は分配法則の繰り返しで必ず求めることができるということを学ぶことの方が重要だと考え、乗法公式にはふれなかった。その代わり、より本質的な考え方として、いくつの多項式の積であっても、各多項式から１つずつ項を取り出してかけて全部たすという操作で求められることにふれた。これは高校数学Ⅰ・Ａで学ぶことになっている二項定理 (x+y)^n （x+y の n 乗）の考え方の基礎になる考え方である。
高校数学Ⅰ・Ａと言うと、それだけで無理だと考えたり、まだやらなくていいと考える生徒や保護者が多いが、その考え方は誤りである。以前http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/05/512.htmlも書いたが、学ぶ学年はあくまで文科省が決めたものであって、何の根拠もない。自分で考えに考えぬいてそれでも理解できないものだけが、まだやらなくていいものだと考えるべきである。文科省の定める指導要領・教科書は学習の最低ラインであることを忘れてはならない。最低ラインに合わせて学習しておいて、上位の学校への合格を希望するというのは明らかにおかしな話である。すべてを先取りすることが正しいとは思わないが、本質的な考え方についてはできるだけ早く慣れ親しんでおくことが大切だと思う。


宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、月曜日の計算練習の時間までにできるようにしておくこと。また、前回の復習テストの直しをして、不合格者は月曜日の再テストで合格できるように勉強しておくこと。次回の復習テストでは必ず合格できるように復習しておくこと。

5/24 数学Ⅱ

今日は「平行四辺形の定義と性質」「平行四辺形の性質を利用した証明」「平方根の乗除」を学習した。
テキストでは p.372～375、107（新課程版p.374～377、111）にあたる。

宿題は今日の授業の復習と、前回の復習テストで100点でない人は間違った問題の証明を清書して月曜日に提出すること。復習テストを受けなかった人は２問とも清書して提出すること。
ただし、ただ漫然と証明を書き写すのではなく、書きながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようになることが目的であることを意識して行うこと。

5/19 大学受験数学Ⅱ

今回はベクトルを用いて三角形の性質を証明した後、「直線のベクトル方程式」、「ベクトルの終点の軌跡」を学んだ。テキストではp.318～324。
三角形については、具体的には「角の二等分線の長さ」、「頂点から対辺に下した垂線の足の位置」、「中線定理」、「三角形の重心、外心、垂心の位置関係」で、初等幾何では結構面倒な証明もベクトルを用いればシンプルに行えることが多く、ベクトルの威力を分かってもらえたと思う。


宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/19 大学受験数学Ⅰ

今回は「２重根号のはずし方」と新しい項目として“２次方程式”から「未知定数を含む２次方程式」「２次方程式の判別式と解の個数」を講義した。
２重根号のはずし方は全中３生にとって必須事項だと私は思うのだが、文科省の指導要領はそうなっていない。私が２重根号のはずし方を全中３生にとって必須事項だと考える理由はこうである。
平方根を習った以上、平方根が答えになる問題が出題されるのは当然である。その際、出題者が想定している解き方をすれば２重根号など現れないにもかかわらず、それとは違う解き方をしたために最終的な答は同じになるのだが、途中で２重根号が現われてしまうということはありうる。文科省が２重根号は高校課程だと（意味不明な）主張をしようとも、問題を解く側（中学生）の解き方まで制限することはできない。正しい考え方で解いている中学生に対して、途中に２重根号が出てくるという理由だけで、その子にこの解き方はダメだとウソを教えるのが指導だとは私には思えない。そのような解き方をしても最終的な答を導くことのできる方法、すなわち２重根号のはずし方を教えておくのが指導というものだと思う。

再来週あたりの授業から、「場合の数」を扱う予定なのだが、このクラスの在籍生徒が公立中３、国立中３、私立大学附属中３、中高一貫私立高１（中入生・高入生両方）、中高一貫公立高１、国立高１、公立高１と様々過ぎて、「場合の数」の予備知識が統一されていないことが予想されるので、あらかじめここまでの予備知識は前提とするというものを提示しておいた。具体的には、昨年度当室中２が学習した内容「体系数学２代数編～場合の数～」を前提とすることにした。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくることと、「体系数学２代数編～場合の数～」を学習しておくこと。

5/18 数学Ⅰ

今日は「対称な図形」を学習した。
移動の定義から始め、合同、線対称、点対称を学習した。
数学で「移動」と言うとき、それは日常用語の「移動」とは違うということに注意しなければならない。数学の「移動」は任意の２点間の距離を変えないということが決まっているからである。この単元は定義や説明は細々としているのだが、問題は非常に簡単なので皆スラスラ問題をこなしていた。問題をする上で注意すべきことは、合同な図形の対応する点の順序通りに答えることくらいだろう。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の復習テストで満点をとれるように勉強してくること。

5/17 数学Ⅱ

今回は平方根について、定義と大小関係などを学習した。
テキストではp.102～105（104～107）にあたる．

宿題は今日の授業の復習と、今日の復習テストができたかできなかったか位は自分で分かっているはずだから、できなかった人はもう一度先週の授業で扱った証明を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようにしてくること。

5/12 大学受験数学Ⅱ

今回は「ベクトルの本質」にあたる部分を学習した。テキストでは「ベクトルの応用」となっているが、数学を知らない人が編集したのかと思ってしまった。この単元は応用でもなんでもなく、これこそがベクトルの本質であって、本来は内積や角度といった計量にあたる部分をやる前に学習すべき内容である。。
具体的には「位置ベクトル」、「分点の公式」、「分点の公式の利用」で、テキストではp.312～317。

宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/12 大学受験数学Ⅰ 中３（高校受験組）にどこまで高校数学を教えるのが妥当か

今回は「有理数と無理数」を講義した。
有理数と無理数の定義から始め、無理数の１次独立性やルート記号を外すときの注意点（ルートの中が変数の場合）などを扱った。

以前、昨年度までの「ハイレベル数学」と「高校数学Ⅰ」を合併して今年度から「大学受験数学Ⅰ」としたことを書いた。
「ハイレベル数学」は中学生向けの最上位クラスとして設置していたが、
①「ハイレベル数学」の秋までの授業内容の大部分は現行中学課程外の内容であり、高校数学Ⅰ・Ａの内容とかぶっていた（それだけのことが難関高校受験では要求される）
②今年度から施行される高校数学Ⅰ・Ａ新課程で復活した「整数」と「空間図形」という項目は、元々学年の区別が付け辛く、文科省が課程から削除しても高校入試でも大学入試でも、学校によって出題されたりされなかったりしてきた内容である（例えば、50？年位前に東大の一次試験で出題された正四角錐の切断の問題は、難関高校入試の典型問題であるのに、大学入試ではほとんど出題されなくなったため高校の参考書には取り上げられてこなかった。）
ことにより、さらに両者の内容がかぶるようになること、さらに、
③高校受験を終えた後のこと（大学受験の準備）を考えた場合、余力のある（これは絶対条件である。多くの中高一貫校はここで誤りを犯している。）中学生は高校数学Ⅰ・Ａまで学習しておくことで、高校に入ってから無駄な苦労をせずに済むこと
以上の理由により、合併することにしたわけだが、生徒というのは本当に浅はかなのだと痛感させられた。

講座名に“大学受験”と入っただけで、ハイレベル数学当時とほとんど同じ内容を講義しているにも関わらず、中３生が復習してこなくなったのである。もちろん、このようなことはハイレベル数学としていた時にはなかったことである。確かに、高１生もいるわけだから、高校受験に出題される可能性がかなり低い（ただし、絶対ないとは言い切れない。理由は後述。）ものも多少は扱わなければならない。しかし、そもそも彼らは中学範囲外からどの程度高校入試に出題されているかということも認識していないのだから、与えられたものは一通り学習するのが正しい姿勢ではなかろうか？ まさか、中学範囲だけで難関高校の入試問題が構成されていると信じているわけではあるまい。
中学範囲外の出題をする代表格として、国際基督教大学附属高校があげられるが、数年前に数学Ｃ（高校３年の選択科目、したがって現在は東大や京大であっても文系では出題されない）範囲から２次曲線を出題したことがあるし、ほとんど毎年のように中学の教科書には載っていないことを出題している。しかも、単なる２次曲線ではなく、円錐曲線としての２次曲線を扱っていたが、これは理系でも難関校を受験する人しか勉強しない内容である。まあ、国際基督教大学附属は少々特別かもしれないが、ガウス記号（高１後半の範囲）を出題したことのある難関高校は沢山あるし、対数（高２範囲）を約束記号として出題したことのある難関高校もあるし、中学範囲外を出題する高校などあげればキリがない。
これらの事実から、中学範囲外であっても、問題文中に十分な説明や約束記号などがあれば、高校入試に出題してもお咎め無しということが読み取れる。
では、受験する側はどこまで学習しておくのが妥当だろうか？ もちろん、高校範囲全てを学習することなどできるはずはないのだから、最低限として旧中学課程の内容は学習しておき、高校１年の範囲でも「三角比」以外は余裕があれば学習しておくのが望ましいであろう。そして、中学範囲外の出題では、「初めて知る数学の内容をその場で理解して答えられる能力が試されている」という事実を十分理解して、普段の授業でも、それが中学課程であろうとなかろうと、初めて聞く内容をその場で理解して問題を解く訓練をしておかなければ、試験場で困惑させられることになるということを肝に銘じておかなければならない。
そのことをきちんと理解して授業を受けていた生徒たち（卒業生）は本番の試験でも中学範囲外の初めて知る内容にも十分対応できてきた。特に、数学の試験が非常に独特で対策しづらいと言われている前述の国際基督教大学附属高校に関して言うと、７人受験して６人が合格しているのである。この他塾ではありえない合格率の高さの秘密は何なのかを少しは考えて欲しいと思う。

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

5/11 数学Ⅰ

今日は「文字式の基本（２）」を学習した。
前々回学習した「文字式の基本」の続きにあたる。
単項式・多項式の定義から始め、多項式の加法・減法までを学習した。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、月曜日の計算練習の時間までにできるようにしておくこと。また、前回の復習テストの直しをして、不合格者は月曜日の再テストで合格できるように勉強しておくこと。また、次回の復習テストでは必ず合格できるように復習しておくこと。

5/10 数学Ⅱ

今日は、数週間ぶりに初等幾何の証明に戻った。
学習した内容は「直角三角形の合同条件」「直角三角形の合同条件の利用」「三角形の内心」で、テキストでは p.367～371（新課程版p.369～373）にあたる。

宿題は今日の授業の復習なのだが、前回も注意したように、授業で扱った証明を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようにしてくること。
復習したつもりで何もできるようになっていないのでは、全く意味がないということを、いい加減、肝に銘じてもらいたい。