8/29 数学Ⅱ

今日は“円の性質”について、「円周角の定理」「円周角の定理の利用」「円周角と弧の関係」を講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/24 数学Ⅳ

今日は、前回の“漸化式の解法”の続き「１次分数型漸化式」を３種類、「３項間漸化式の解の導出」を２種類講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/24 数学Ⅲ

前回の土曜の授業で、一通り“場合の数”についての講義が終了した。
本来ならば“確率”の講義に入るところだが、夏期特別時間割水曜日に行ってきた“整数”に関する項目が少々残っているので、そちらを優先することにした。その間に再度しっかりと“場合の数”を復習しておいてもらいたい。

“合同式とその応用”について「合同式の利用法」をさらに２題講義した後、「ディリクレの引き出し論法」を講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/23 数学Ⅰ

今日は“平行四辺形”について「平行四辺形の定義」「平行四辺形の性質・平行四辺形になるための条件の証明」「平行四辺形であることの証明」「平行四辺形の性質の利用」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/22 数学Ⅱ

今日は“線分比と面積比”について、「角の二等分線に関する定理」「三角形の面積比と線分比に関する定理」を講義したのち、これらを用いる演習を行った。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/22 数学Ⅳ

夏期特別時間割の木曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅳの授業を実施している。
第４回目は“円の方程式・円と直線の関係”の続きとして「円外の点から引いた円の接線」「弦の長さ」「極と極線」「２円の共通接線」「円と放物線」を講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/21 数学Ⅲ

夏期特別時間割の水曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅲの授業を実施している。
第４回目は“合同式とその応用”について「合同式の利用法」を４題講義した。

合同式の利用においては
整数を整数 m で割った余りが問題（条件）にされている　→　mod m  で考えてみる
整数の末位（一の位）の数字が問題にされている　　　　  →　mod 10  で考えてみる
偶数であるか奇数であるかが問題（条件）になっている　 →　mod 2    で考えてみる
という問題解法の指針を憶えておくとよい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

長期休暇の過ごし方 ～受験勉強の王道～

大泉英数研究室は今日から約１週間の盆休み。

世の中には勘違いしている保護者・生徒が多いが、数多くの授業や長時間の授業を受けることが成績向上にそのまま繋がるのではない。
授業を受けた後に復習をして自分のものにしなければ、受けた授業はほとんどすべて無駄になってしまうからである。多くの塾が夏期講習と称して、多くの授業＆長時間の授業を受けるように斡旋するが、その大部分の理由は塾側の営利が目的であるということを見逃してはならない。中学・高校受験の場合、特訓合宿なんてものを実施する大手塾も多いが、そんなものは全く必要ない。そんなことをするくらいなら、例えば高校受験の数学の場合、自宅で中学１・２年の授業で扱かった問題の全てをくまなく復習して、できない問題がないように、さらにはできる問題でも問題を読んだ瞬間にその解法が頭に浮かぶようになるまで繰り返し復習することの方がはるかに重要である。逆に言うと、それができるようにならなければ、いつまでたっても数学ができるようにはならない。

「新しく習ったことの復習を日々繰り返して、長期休暇にはそれまでの学習内容の総復習をして完璧にする」
これが受験勉強の王道であることを忘れてはならない。

8/10 数学Ⅳ

今日は前回の“数学的帰納法・数列の帰納的定義”の残り、「漸化式の立て方」を数問講義した後、“漸化式の解法”として「漸化式の解法の考え方」「等差数列・等比数列の漸化式」「２項間漸化式」「階差型２項間漸化式（１）」「階差型２項間漸化式（２）の特殊な場合」を講義した。

一般の漸化式は解けないものの方が多いが、大学入試では簡単に解くことのできる特別な形の漸化式しか扱われないので、そのような漸化式の解法を知っておけばよい。つまり、漸化式を解かなければならなくなった時、（今回と次回で学ぶ）漸化式の解法にあてはまるかどうかを考えて、あてはまればその方法で解き、あてはまらなければ、実際に数列を調べてみて一般項を予測して、その予測が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する以外に方法はないということである。このようなことを知っておけば、漸化式の解法の方針を誤ることはないというのが非常に重要な点である。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/10 数学Ⅲ

今日は、“場合の数（２項定理・多項定理）”について「２項定理」「２項定理の導出」「２項定理を用いた計算」「多項定理」「多項定理を用いた計算」「nCr の３つの意味」を講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/9 数学Ⅰ

今日は前回の“１次方程式の応用”の続きとして、「過不足に関する問題」「濃度に関する問題」「利益に関する問題」を講義した後、“比例式”について「比・逆比・比の値・比の相等の定義」「比の計算」「比例式の性質の証明」「比例式の扱い方の注意」「連比・連比の相等の定義」「連比の計算」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/8 数学Ⅱ

今日は数学Ⅰの第１～２１講の総復習テストを行い、解法のポイントを解説した。
すべて指導済みの内容であり、しかも今回は授業で扱った問題と全く同じ問題でテストした。
授業と同じ問題でテストしても合格点を取れないということの意味を、不合格点を取った生徒にはしっかり考えてもらいたい。
残った時間で、“整数の基本”の補足問題として「ガウス記号の応用問題」「2 の倍数，6 の倍数であることの証明」を講義した。

 宿題は、今日のテストの間違った問題や答はあっていても解法が適切でなかった問題を、何度も繰り返し復習し、二度と同類の問題では間違わないようにすること。

8/8 数学Ⅳ

夏期特別時間割の木曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅳの授業を実施している。
第３回目は“円の方程式・円と直線の関係”の続きとして「円の方程式（一般形）の表す図形」「円と直線の位置関係」「円上の点との距離」を講義した。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/7 数学Ⅲ～合同式 なぜこれが課程外なのか？～

夏期特別時間割の水曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅲの授業を実施している。
第３回目は“素数・素因数分解・ユークリッドの互除法・記数法”の続きとして「記数法」を講義した後、“合同式とその応用”について「合同式の定義」「合同式のイメージ」「合同式の基本性質」「合同式入門」を講義した。

合同式は高校数学でも30年近く前から課程外となっているが、こんな便利なものを教えないという文科省の気が知れない。それは中学生にとっても同じである。合同式を使うのと使わないのとでどれほど答案に差が出るかということを、某有名参考書の問題数問とその解答（合同式を使わないもの）と板書の解答（合同式を使ったもの）で比べてもらった。ここで注意ずべきことは、合同式を使おうと使わなかろうと解法の「本質」は同じであるということである。試験には時間との勝負という面も大きいのであるから、考え方が同じなのに記述法によって圧倒的な差がつくのなら、それは学ばない方が損をするということである。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/3 数学Ⅳ ～数学的帰納法の誤解に見る 「教師、塾・予備校講師の質の低下」～

今日は“数学的帰納法・数列の帰納的定義”について、「数学的帰納法の原理」「数学的帰納法」「数学的帰納法を使う場合の答案の書き方」「数学的帰納法の変化型（１）」「数学的帰納法の変化型（２）」「数学的帰納法の変化型（３）」「数学的帰納法の利用」を講義した。

数学的帰納法を「将棋倒し」や「ドミノ倒し」を例にして説明している参考書、塾・予備校テキスト、塾・予備校講師、教師が多い（というよりほとんどである。私も学生時代このような説明を受けた。）が、この説明は不適切である。数学的帰納法の原理は自然数の定義の一部すなわち自然数の本質であり、数学的帰納法の原理によって自然数に関する命題を証明できるということは無条件に受け入れなければならないものである。これは自然数が無限集合であるが故のことであり、無限というものをとらえきれない人間にとっては致し方ないことなのだ。もちろん、n が有限なら「将棋倒し」や「ドミノ倒し」の例で構わないのだが、有限と無限は本質的に異なるものだということを忘れてはならない。でなければ、「無限に並ぶ将棋駒（ドミノ）が次々に倒れていくとして、いつになったら全部倒れるのですか？」という答えられない質問をぶつけられることになってしまう。
また、「毛が何本抜けてもハゲではない」ということを数学的帰納法で証明できるが、それは現実には合わないので、数学的帰納法は万能ではないなどと、本物のアホとしか思えないことを堂々という教師や塾・予備校講師もいる（田舎育ちで近くに塾がなかったので、長期休暇中に予備校の講習会に参加したこともあったが、そのような講義を某予備校で受けて、呆れてその後の講義を受けなかった記憶がある。他に何人もそのような授業を受けたことがあるという人を知っている・・・）が、そもそも数学的帰納法の原理は自然数に関する“命題”の証明を保証するものであるということを忘れてはいけない。ハゲであるとかないとかいうことは、その人の感覚によって判断が違うので命題でないのは小学生でも分かることなのだが・・・

教師、塾・予備校講師の質の低下は２０年以上前から進んでいたということなのだろう。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/3 数学Ⅲ ～数学学習法～ 「その問題が何を理解するために作られている問題なのか」を意識せよ

今日は、“場合の数（数えあげの基本の利用）”について「組分け・分配」の代表的な３パターンと「平面の塗り分け」「立体図形の塗り分け」を講義した。

「組分け・分配」の際に、コンビネーション nCr を使うときの注意点は何ですか？
と聞かれたら即答できるだろうか？
このようなことが即答できて初めて、この問題を学習できたといえる。そうでないと、単に今やっている問題が解けるようになっただけで、よく似た違う問題だと出来ないということが起こってしまう。それどころか、数週間も経てば今できるようになった問題さえもまたできなくなってしまう。大切なのは、「その問題が何を理解するために作られている問題なのか」ということを意識して学習するということである。もちろん、入試問題にはいわゆる“落とすため”に作られた問題（数学の基礎学力を養うための問題ではないもの）もあるが、数学ⅢやⅣで学習する内容はそのようなものではなく、全ての問題に学習する意味があるので、それが何なのかを意識して学習してもらいたい。そのような学習をしていれば、どこかの塾のように大量の問題練習・大量の勉強時間を課せられなくても、難関大学に合格するのに十分な学力を身に付けられるのだから。

 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

8/2 数学Ⅰ

今日は“１次方程式の応用”について、「等式の変形」「整数についての問題」「個数と代金についての問題」「速さに関する問題」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/1 数学Ⅱ

今日は数学Ⅰの第１～１２講の総復習テストを行い、解法のポイントを解説した。
すべて指導済みの内容であるが、これまでとは違い授業とは同じではない問題でテストした。

 宿題は、今日のテストの間違った問題や答はあっていても解法が適切でなかった問題を、何度も繰り返し復習し、二度と同類の問題では間違わないようにすること。

8/1 数学Ⅳ

夏期特別時間割の木曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅳの授業を実施している。
第２回目は“２直線の位置関係・点と直線の距離”の続きとして「角の二等分線」「座標平面上の三角形の面積」を講義した後、“円の方程式・円と直線の関係”「円の方程式 （標準形）」「円の方程式（一般形）」「２点を直径の両端とする円の方程式」「円の方程式の求め方」を講義した。
宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。

7/31 数学Ⅲ～ユークリッドの互除法～

夏期特別時間割の水曜日は、土曜日とは別のテーマで数学Ⅲの授業を実施している。
第２回目は“素数・素因数分解・ユークリッドの互除法・記数法”の続きとして「互いに素な整数の個数」「「互いに素」の利用法」「n! が素数 p で割り切れる回数」「ユークリッドの互除法の原理」「ユークリッドの互除法」を講義した。


小学校で最小公倍数の求め方、最大公約数の求め方を習って、何問かその練習をしてできるようになると、普通の思慮深くない者は「自分は最小公倍数や最大公約数の求め方は完璧にマスターした」と勘違いをする。本当はただ単に、極めて求めやすい問題だけを練習させられていただけに過ぎないというのに・・・
我々に最もなじみ深い数である“整数”は約30年前に文科省（当時は文部省）によって、初等教育過程から外された。それ以来、ほとんどの思慮深くない普通の人は、極めて求めやすい最小公倍数や最大公約数しか求めたことがないまま、何の疑問もなく数学の学習を終えることになっている。

ところが、2000年以上も前のギリシャ時代の人々はそうではなかった。非常に求めづらい最大公約数に対してその求め方を編み出し、習得していたのである。それが、ユークリッドの互除法である。例えば，31411 ,72619 の最大公約数を求めることを考えてみてもらいたい。我々が小学校で習う方法では全く太刀打ちできないことに気付けるはずだ。両方を割ることのできる共通の約数が簡単には見つけられないからだ。
このような問題を解決する（その効用はそれだけではないが）画期的な手法であるユークリッドの互除法が高校数学ⅠAに復活したのは喜ばしいことである。ユークリッドの互除法を知っていれば、どのような２つの自然数の最大公約数も（従って、最小公倍数も）求めることが可能である。

ユークリッドの「原論」は、世界で２番目に多くの人に読まれた本と言われているように、ギリシャ時代の人々は今と違って、非常に勤勉だったようである。当時は印刷技術もなかったのに、どうやってそれほど多くの人に読まれたのかというと、書き写して勉強したようだ。2000年以上経って、当然ながら進化しているはずであり、知的レベルもずっと上がっていなければならないはずの現代人には、そのような勤勉さは微塵も感じられないが、せめてユークリッドの互除法を理解して使えるようになるくらいのことはあってしかるべきであろう。（すでに東京大学の入試問題ではユークリッドの互除法がテーマとなる問題が出題されている。）


 宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
復習テストには前回以前の問題も数題入れるので、常に以前の復習を怠らないようにすること。