12/29 大学受験数学Ⅱ

前回“ベクトルの外積”について講義したので、今回はベクトルの内積と外積の応用を中心に講義した。
具体的には「ベクトルの問題の考え方の基本方針」「三角形の面積の内積表示・外積表示・成分表示」「正射影の定義」「ベクトルの正射影とその成分」「法線ベクトルの定義」「ベクトルの正射影の利用」「内積と外積の利用（ねじれの位置にある２直線の共通垂線の長さの求め方）」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/29 大学受験数学Ⅰ

今回は“２次関数の最大・最小”について、「２次関数の最大・最小問題の解き方の基本方針」「置き換えによる最大・最小」「定義域が広がるときの最大・最小」を講義した。難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/28 数学Ⅰ

今回は“立体図形”について講義した。
具体的には「多面体」「正多面体」「オイラーの多面体定理」「角柱・円柱」「角錐・円錐」「回転体」「投影図」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/27 数学Ⅱ

今回は前回に引き続いて「三平方の定理の空間図形への応用」を学習した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

12/26 大学受験数学Ⅰ～高校数学とICUの入試問題

冬休み時間割ということで、今週は大学受験数学Ⅰは水曜と土曜の２回ある。
土曜はこれまでの続きとして、難関高校入試と高校数学がクロスオーバーする部分を中心に扱うが、水曜日は難関高校入試でも通常は出題されないものを扱う。ただし、国際基督教大学附属高校(ICU)は除く。はっきり言ってICUは何を出題するか分からない。過去には高校数学Cの範囲の二次曲線を出題したこともあるし、高校の教科書には載っていないながらも難関大学でしばしば扱われるカタラン数を出題したことまである。また、今回から扱う三角関数も過去に出題したこともあるので、ICUで出題される可能性のあるものということになれば、高校数学全部ということになってしまうからだ（むしろICUが純粋な中学数学を出題するという印象は全くない）。

今回は“一般角と弧度法・三角関数の定義”として「一般角の定義」「象限の角」「弧度法の定義」「弧度法と度数法の関係」「弧度法を定義する意味」「三角関数の定義」「三角関数の値」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/22 大学受験数学Ⅱ

これからしばらくの間、土曜のこのクラスでは、以前学習した内容の中で難関大学を受験するには足りていない項目について講義していくことにする。
今回は“ベクトルの外積”について講義した。
もちろん、ベクトルの外積は文科省の高校数学課程には入っていないし、通常のレベルの参考書や問題集では扱われないが、難関大学を受験する生徒にとっては必須事項と言える。
ただ、外積を知っている多くの生徒は、外積の成分表示というか成分計算の方法を知っているだけで、外積の定義を憶えていないことが多い。それでは外積の利用範囲は「２つのベクトルに垂直なベクトルを求める」こと位に限られてしまうだろう（し、そもそも、定義も知らない概念を少しばかり使えたところで、そんなことに何の意味もないということに気づかないといけない）。
そこで、「外積の定義」から始め、「外積の計算規則の証明」「外積の成分表示の証明」「外積の計算練習」「２つのベクトルに垂直な単位ベクトル」「外積の利用（空間内の三角形の面積の求め方）」「外積の利用（空間内の点と直線の距離の求め方）」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/22 大学受験数学Ⅰ

今回は前回に引き続いて“式の値の計算法”について、「比例式とその値」「分数式の計算の工夫」を、さらに“いろいろな関数のグラフとその応用”について、「絶対値を含む関数」「分数関数（分数式で表される関数）」「無理関数（無理式で表される関数）」「ガウス記号 [ x ]」「関数のグラフの方程式・不等式解法への応用」を講義した。多くの内容が難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/21 数学Ⅰ

今回は“空間における平面と直線”について講義した。
具体的には「平面の決定」「直線と平面の平行・平面と平面の平行」「直線と直線の垂直・直線と平面の垂直・平面と平面の垂直」「直線・平面の位置関係（直線と直線・直線と平面・平面と平面）」「点と平面の距離・平行な２平面の距離」を講義した。

この項目は、中学の教科書の定義と高校の教科書の定義が異なっているものが目立つ、かなり特殊な項目である。もちろん高校の教科書が正しく、中学の教科書の通りでは高校の数学はおろか難関高校の入試問題も解けない。例えば、中学の教科書では「２直線が垂直である」ことは２直線が交わる時についてしか定義していないが、高校の教科書では２直線が交わらない時にも定義してある。難関高校の入試問題も表面上は教科書に従っていることを装っているため、２直線が交わらない時に垂直であるかどうかを問うことはないが、それが分からなければ、直線と平面が垂直であるかどうかを判断できないために解くことができない問題が出題されることがある。授業ではもちろん難関高校受験にも弊害が出ないようにするのが当たり前である。
文科省は、中学の数学と高校の数学の整合性が取れるように作成すべきはずだが、中学と高校の文科省の担当者が違うのか（当然監修者は違っている）、いかにも役人の縦割り仕事という感じだ。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/20 数学Ⅱ

今回は前回に引き続いて「三平方の定理の平面図形への応用」を学習した後、「三平方の定理の空間図形への応用」を少しだけ学習した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

12/15 大学受験数学Ⅱ

今回は“積分法の応用”として「区分求積法」を前回よりも一歩踏み込んで学習した。また、「運動学」についても講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/15 大学受験数学Ⅰ

今回も「数と式」の項目から“式の値の計算法”を講義した。
具体的には「次数下げ（リダクション）」「相反型の式の値」「対称式の利用」「比例式とその値」を学習した。ほとんどの内容が難関高校受験数学と高校数学とがクロスオーバーする部分である。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/14 数学Ⅰ

今回は前回の“相似”の続きとして、三角形の相似条件を使う学習を行った。具体的には「相似な図形の線分比」「相似な図形の周の長さの比」「相似であることの証明」「相似な図形の面積比」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/13 数学Ⅱ

今回は三平方の定理の平面図形への応用について学習した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

12/8 大学受験数学Ⅱ

今回は“積分法の応用”として「定積分の関数の近似への応用」「定積分の不等式への応用」「リーマン積分の定義」「区分求積法」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

12/8 大学受験数学Ⅰ

今回は「数と式」の項目から“多項式の約数と倍数，分数式の計算”を講義した。
具体的には「多項式の約数・倍数」「多項式の公約数・公倍数，最大公約数・最小公倍数」「多項式の最大公約数と最小公倍数の関係」「多項式のユークリッドの互除法」「分数式の計算」を学習した。ほとんどの内容が「整数」の時に学習した内容の多項式への応用なので、整数の復習も兼ねてしっかり復習しておいてもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、前回も書いたが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことも宿題にしておく。

12/7 数学Ⅰ～ほとんどの人が分かっていない“相似”～

今回は、いよいよ“相似”についての講義。
世の中のほとんどの人（東大生であろうと京大生であろうとほぼ全員）は“相似”という概念を分かっていない。一見あまりに簡単すぎる概念のため、信じがたいかもしれない。信じられない人は、まず“相似”の定義を言ってみてもらいたい。
多分言えないのではないだろうか？
「形が同じで大きさの違う２つの図形を相似という」といったもっともな答えが返ってきそうだが、考え直していただきたい。
“形”とは何ですか？と訊かれたらどう答えるかということに気づいていただきたいのだ。
数学においては定義のないものは扱えないと以前書いたが、これまでの数学（少なくとも中学・高校の数学）で“形”というものは定義していないのだから、当然、それを“相似”の定義に使用することもできないのである。
私の知る限り、すべての教科書、参考書、塾・予備校教材で“相似”の定義を書いてあるものを見たことがないし、、“相似の性質”や“三角形の相似条件”の正しい証明も見たことがない。
ここまで書けば、世の中のほとんどの人が“相似”という概念を分かっていないということも納得していただけるだろう。
当室では、「数学の基礎的な力とは“数学の定義・定理，数学の論理構成を徹底して身に付ける”ことによってのみ養われるものであり，それが完全に身に付くことが数学の発展的な力(難問を解ききる力)となる」という考えから、“相似”についても正しい定義を行い、“相似の性質”や“三角形の相似条件”もきちんと証明している。

具体的には、「拡大（縮小）」「相似の定義」「相似の中心・相似の位置」「相似な多角形の性質（相似な三角形の性質の証明）」「相似比」「三角形の相似条件の証明」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとすることと、先日返却した総復習テストで間違った問題を二度と間違わないようにすること。

12/6 数学Ⅱ

今回は三平方の定理について「三平方の定理の証明」「三平方の定理と直角三角形の辺の長さ」「有名な直角三角形の３辺の比（ピタゴラス数）」「鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形の３辺の長さの関係と三平方の定理の逆」「三平方の定理を利用した証明」を学習した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/24 大学受験数学Ⅰ

前回に引き続き、“条件つき確率”について「条件つき確率の利用」「原因の確率」「事象の独立と積の法則」と、“確率分布と期待値”について「確率変数」「確率分布・確率分布表」「期待値」「損得と期待値」「反復試行と期待値」を講義した。

「原因の確率」というのは本質的には条件つき確率と同じなのだが、文字通り原因となるものの確率を考えるためにこのように呼ばれる。
「事象の独立と積の法則」については、まず、“試行の独立”と“事象の独立”を混同しないようにしてもらいたい。書名はあげないが、有名な塾の有名な講師の書いた参考書で、この２つを混同しているものがあるくらいなので、間違いやすいのだと思うが・・・　情けない限りである。

新課程から「期待値」は数Ⅱ・Bに入れられたようである。昨年までは数Ⅰ・Aに入れられていたのだが、文科省の滅茶苦茶ぶりはここでも発揮されていた。というのも、「期待値」は数Ⅰ・Aで「確率変数」は数Ⅱ・Bだったのである。何が滅茶苦茶か分からない人のために言っておくと、数学において「期待値」という概念は「確率変数」という概念に対して定義されるものであるので、「確率変数」を教えずに「期待値」を教えることはできないのだ。それを「確率変数」は教えずに「期待値」を教えろというのが、これまでの文科省の立場だったのだ。そのような文科省の意向に沿うように作られた教科書というものが“まとも”であるはずがないことくらいは分かっていただけると思う。
まだ新課程の数Ⅱ・Bの教科書はできていなので分からないが、新課程からは確率変数と期待値を一緒に指導できる教科書に変わっていることを切に願う。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、授業中に話したが、復習テストでどんなに高得点が取れても、総復習テストで得点できないのでは全く意味がない（なぜなら、入試は数学全範囲での総復習テストのようなものな）ので、年明けからは総復習テストしかしないことにする。これまで、総復習テストで数点～十数点しか取れていないような情けない生徒たちには、年明けまでにしっかりこれまでの全範囲を復習しておくことを宿題にしておく。

11/24 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“関数方程式の解法”について「未知関数の形が予測できる場合の解法」「方程式を微分する場合の解法」を講義した。
関数方程式に関する問題は、東京大学をはじめとする難関大学での出題率が高い項目であるが、この項目の基本～標準問題はほとんどの参考書・問題集で扱われていない。結果として、入試問題での正解率も下がってしまっていると思われるので、前回と今回で扱った問題をしっかり復習して、このレベルの問題は高１～２で完璧に得点できるようにしておいてもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/22 数学Ⅱ

今回は、相似の応用について「相似な図形の周の長さの比と面積の比」「相似な三角形の面積比」「相似な立体の表面積の比と体積の比」「相似な立体の体積比」を学習した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/17 大学受験数学Ⅰ～条件つき確率～ その間違いがわかりますか？

今回は“条件つき確率”について「条件つき確率の定義・確率空間の再設定」「条件つき確率のもう１つの定義」「条件つき確率の利用に関する注意点」「条件つき確率の問題」を講義した。

先日、「教科書や参考書は間違いだらけ」と書いたが、信じられない人も多いだろう。そういう人は「もしかしたら自分は、自分で気づいていないだけで、日本人独特の『お上の言うことを鵜呑みにしてしまう人間なのかもしれない』」と疑ってみた方がいい。

この“条件つき確率”という項目も、ほとんどすべての教科書・参考書・塾テキストが間違っている項目である。
まず、条件つき確率の定義を書いていないもの、これは論外である。数学において定義のない概念を議論することなどできない。特に多いのが、具体例をあげて、「このような確率を条件つき確率という」というスタイルのものだが、これは定義とは言えない。分かりやすくするために具体例を上げるのは大事なことだが、定義は定義できちんと行わなければならないのは当然のことである。しかし、それを行っていないものが多いのだ。
また、間違いとは言えないが、明らかな説明不足であるのが、その定義の仕方である。この説明の足りなさが、“条件つき確率”というものが受験生にとって意味不明で掴みどころのないものになっていると思う。
当室では、条件つき確率を確率空間の再設定を行って定義するのだが、その説明が面倒なのか、結果的に同じ定義であるものでも、ベン図のような絵を書いて面積の割合に見立てるだけで、確率空間を再設定していることにはふれないものばかりである。また、当室では「条件つき確率のもう１つの定義」としている以下の定義を行っているものも多い。

もちろん間違いではないし、こちらの方が便利な場合も多いのだが、これをいきなり条件つき確率の定義にしてしまうと、以下の乗法定理とよばれる式が単なる(※※※)の式変形に過ぎず、“何ゆえに定理たりえるのか？”が全く理解できないはずである。当室では、確率空間の再設定による定義から以下の乗法定理を証明し、乗法定理の式変形として(※※※)を得るという流れで指導している。

ネーミングは意味もなく行われているわけではない。わざわざ“定理”と書くにはそれなりの理由があるのだ。思い起こしてみてほしい。わざわざ“～定理”とネーミングされたものをいくつ知っているか？と。意外に少ないはずである。以前から書いている“中点連結定理”も同じである。意味もなく“定理”と付いているわけではないのだ。重要だからついているのである。そのような重要なものが、定義の式変形で終わりとか、相似の性質より明らか、であるはずがないのだ。このような意味のないネーミングになってしまっているのは、教科書や・参考書がその導入を間違っているからである。


また「条件つき確率の利用に関する注意点」として、以下のような問題を作成して講義した。

 

この考え方の誤りがわかるだろうか？
多分、分からないのではないだろうか・・・
私の知る限り、１冊の例外を除いてすべての教科書・参考書・塾教材にこのような解答が書かれているし、先の条件つき確率の定義における具体例で上記の類の説明がなされることも多いくらいである。しかし、これは明らかな間違いで、答えがあっているだけである。
教科書作成の東大や京大の名誉教授クラスの先生方が、まさかこの誤りに気づいていないとは思えないし、教科書は大学受験をしない生徒にも読ませなければならないものだから、厳密さよりも分かりやすさを重視して書くということには一定の理解は示せるものの、わかりやすさというような主観的なものは人それぞれ違うのだから、分かりやすさを重視して間違ったことを書くというのはやはり違うのではないかと思う。
一方、大手大学受験予備校や塾でそれなりの地位にある大先生がこのような間違いを平気で自分の本に書かれていらっしゃるのは、読者のわかりやすさに配慮したものではなく、明らかに本人の理解不足ゆえのものであるので、情けない限りである。

私自身は、高校生の頃、この解答は誤っているのではないかと思ったのだが、昔の田舎の高校生が手に入れられる参考書には限りもあったし、そのどれを見ても同じスタイルの解答が書かれていたので、自分が間違っているのか？と思いもしたが、条件つき確率の定義からどう考えても明らかに自分が正しいと信じていた。ただ、それを確信にしてくれる本を読んだことがなかった。

そして、月日は流れたが、何十冊という教材に目を通した結果、私が指摘する誤りを同じく指摘しているものはたった１冊、故矢野健太郎先生の「解法の手びき　確率・統計」（絶版）のみであった。
矢野健太郎先生はアラ３０以上の人には参考書ばかり書く大学の先生というイメージが強いかもしれないが、実は数学者として超一流で、東京大学を卒業して東京大学の助教授になられ、その後に当時から世界最高峰として知れ渡っていたプリンストン高等研究所に呼ばれた程の大数学者である。プリンストンではかのアインシュタインとも親しくされており、現在の日本に矢野健太郎先生クラスの数学者はほとんどいないのではないだろうか・・・
そのような本物の数学者が書かれた参考書を読むことができないだけでなく、商業主義に走った間違いだらけのエセ参考書しか読めない今の高校生は可哀想である。

大手予備校・塾の先生方は数学の問題を解くのが得意で大学生になってアルバイトをしてそのまま講師になってしまった人が多く、数学を真面目に勉強したことのある人はほとんどいないようだ。しかし、自分が本を書く以上はもっと謙虚になって勉強し直してはいかがかと思う。数学では問題を解けることと数学を正しく理解していることとは同じではないのだから。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/17 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の続きとして“定積分と体積計算”について「カバリエリの原理を用いた体積計算」「不等式で与えられた立体の体積計算」と“関数方程式の解法”について「微積分の基本定理に関する注意」「未知関数の形が予測できる場合の解法」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/16 数学Ⅰ

今回と次回は、この数学Ⅰの幾何授業のクライマックスと言える内容の講義になる。
具体的には、「平行線と線分比の定理」「中点連結定理の拡張」「平行線による線分比の移動」を講義した。


私の知る限り、すべての教科書と参考書に載っているこの定理の証明には、相似の性質が用いられているが、それは明らかな間違いである。教科書や参考書には正しいことしか書いていないと思っている能天気な人が多いので注意しておくが、教科書や参考書は間違いだらけである。ところが、それを注意すべき立場にある学校の先生や塾の講師もその間違いに気づいていないレベルなのでどうしようもないのだ。そして子供たちは間違いを正しいと信じ込まされている。
論理性を磨くはずの数学の学習において、嘘を信じ込まされているのではどうしようもないではないか？
実は、この定理に相似の性質を用いてはならない理由は“明らか”なのだ。それは相似の性質を証明するのにこの定理を使うからである。つまり、この定理の証明に相似の性質を使って証明した気になっても、それは何もしていないのと同じことなのである。
この点については、中点連結定理やその拡張についても同じことが言える。

来週は祝日で休室、再来週は５週目休室なので、この休みを使って今日の内容以外にもこれまでの全ての内容をしっかり復習してきてもらいたい。

11/15 数学Ⅱ

今回は「角の二等分線の定理」「中点連結定理」「中点連結定理の利用を学習した。
テキストp.423～425（新課程版 p.427～429）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/10 大学受験数学Ⅱ

今回は“定積分と体積計算”について「体積計算の基礎」「体積計算」「回転体と体積計算」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/10 大学受験数学Ⅰ

今回は、前回に引き続き“独立な試行の確率”から「独立試行と和の法則」「ベルヌーイの定理」「反復試行」「反復試行と点の移動」「反復試行の確率の最大値」「n 回戦と反復試行」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

11/9 数学Ⅰ

今回は、前回“一次関数と反比例のグラフ”の続きとして、「座標平面上にある三角形」について学習した。
具体的には、「座標平面上の三角形の面積」「三角形の面積の二等分」「三角形の面積比」を講義した。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/8 数学Ⅱ

今回も前回に引き続いて“相似”について学習した。
「円と相似」「円に内接する四角形」「三角形と線分の比の定理の証明」「三角形と線分の比の定理と線分の長さ」「線分の長さの比」を学習した。
テキストp.416，419～422（新課程版 p.420，423～426）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/2 数学Ⅰ

今回は、これまで学習してきた“関数（正比例・反比例）”、“一次関数”、“連立１次方程式と直線”の総まとめとして、“一次関数と反比例のグラフ”を扱った。
具体的には、「一次関数のグラフの特徴」「反比例のグラフの特徴」「一次関数と反比例の値域」「変域に関する問題」「正比例のグラフ」「反比例のグラフと面積」「一次関数のグラフの通る範囲」「関数の問題の一般的注意」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

11/1 数学Ⅱ

今回から“相似”について、三角形を中心に学習していく。
「相似の位置にある図形」「相似な図形の辺の長さ」「三角形の相似条件」「三角形の相似条件を利用した証明」を学習した。
テキストp.410～415（新課程版 p.414～419 ）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/27 大学受験数学Ⅰ ～“お子ちゃま”に真の学力はつかない～

先日、勉強姿勢について苦言を呈したが、本当に“お子ちゃま”というのは浅はかでどうしようもない。

空間図形の問題で昔の東大の問題を扱ったことはここでも紹介したが、中学生でこのクラスに参加している生徒が全員、この問題を復習してこなかったのである。この問題の類題はここ何十年も大学入試では出題されることはなかったが、難関高校入試の必須典型問題となってきたことはここでも紹介した。この問題の類題を出題したことのある高校の数はかなりにのぼるはずである。にもかかわらず、この問題が“東大”の問題であると言っただけで、最初から何もしようとしないのだ。つまり、勉強する気などなく、勉強しないための大義名分を探して、見つかればやらないという姿勢なのである。「どうして復習しなかったの？」と親御さんに訊かれれば、「東大の問題なんて今できなくても関係ないし」と答えるのだろう。この問題とほぼ同内容のものが多くの高校入試問題として採用されたことがあるということはひた隠しにして。

以前、難関高校を希望する中学生がどこまで高校内容にまで踏み込んで学習しておくべきかということについて書いて http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/05/512.html 、それをプリントアウトして読ませたこともあるのだが、全く何も理解していなかった。というより、理解しようとしないのだろう。だが、そういう生徒に限って、学校の定期テストはきちんとお勉強する傾向にある。それは、学校の成績は親御さんが気にするから、やるのだと思う。要するに、自分のために勉強するのではなく、親に言われるから、親の目が気になるから勉強しているのである。そんな気持ちで本当の勉強ができるはずはない。ということで、その当然の結果として、模試の成績はガタガタである。学校のお勉強が本当に本質的なら、学校の成績が良ければ模試の成績も良いはずである。模試の成績がガタガタになるなんてことはないはずだ。本質的な勉強は言い訳を探してやらないようにするくせに、本質的でない勉強はせっせと一夜漬けの暗記をする。そして実力はつかずに模試の成績はガタガタ。一体何がしたいのだろうか？　
私にはまったく理解できない。逆に、彼らの数ヵ月後の受験結果は手に取るように分かる。このまま態度を改めないのであれば・・・


前回から“確率”の学習に入り、確率空間の設定の重要性と事象の排反と和の法則について学習したが、今回は「排反でない事象の和事象の確率」「１つの事象内の余事象の確率・出る数字の最大値の確率」「確率の最大値」「独立試行」「独立試行と和の法則」を講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/27 大学受験数学Ⅱ

今回は“定積分と面積計算”について「カバリエリの原理」「２曲線で囲まれる部分の面積」「曲線と x 軸とが囲む部分の面積の総和」「２曲線の囲む部分の面積の総和」「２曲線の囲む部分の面積の総和」「β関数の公式」「β関数の公式の利用」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/26 数学Ⅰ

今回はまず、前回の続きとして、“面積比”について「角が等しい三角形の面積比」「図形全体に対する面積比」を講義した。次に、“連立１次方程式と直線”について「直線の方程式の一般形」「直線の方程式の実践的読み方」「連立１次方程式の解と直線の交点」「連立１次方程式の解の個数」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/25 数学Ⅱ

前回に引き続き、円について、「円周角と弧の性質の利用」「円周角の定理の逆を利用した証明」を学習した。
テキストp.392～394（新課程版 p.394，395，398 ）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/20 大学受験数学基礎Ⅰ～確率空間の設定～

今回から“確率”の学習に入った。
高校数学では中学数学よりも確率の定義が明確になる。その代わり「標本空間」「根元事象」といった言葉も理解しなければならなくなるが、多くの人が感じる“何となくしっくりこない”という確率という分野への印象が薄れてくる。そして、確率というものは、例えばサイコロの１の目が出る確率が６分の１という誰もが疑いを持っていないようなものですら、「初めから決まっているもの」ではなく、人為的に決める関数であるということが分かってくる。
ある問題（現象）の確率を考えるということは，その問題（現象）にあてはまるであろうモデルを設定して、そのモデルについて確率計算をしているということであるので、モデルが妥当なものであるかどうかは結果で判断するしかない。確率を考えるときには、初めに「全事象の要素は何個だと考えたか」、「何を同様に確からしいとしたか」など、自分が設定した確率空間を明確にすることが大切なのである。
だから、今回は「確率空間の設定」についてかなりの時間を割いて、問題をやりながら説明した。そして、確率空間の設定の仕方によって、求める確率の値が異なってしまうという例も問題として扱った。その他に、「事象の排反と和の法則」についても講義した。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/20 大学受験数学基礎Ⅱ

今回はまず“微積分の基本定理”について講義した。
定積分を教科書に書いているような単なる（原始関数を用いた）計算式ではなく、「連続関数 f(x) と x 軸と x軸に垂直な２本の直線で囲まれる図形の符号付き面積」という概念として定義することによって、微積分の基本定理の本質を学習できたと思う。
さらに、定積分を計算するときの注意として、やみくもに原始関数を用いるのではなく、連続関数 f(x) と x 軸と x軸に垂直な２本の直線で囲まれる図形」がどのようなものかをまず考えることによって、煩雑な計算をしないで済むことが多々あるということを解説した。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/19 数学Ⅰ

今回は前回に引き続き、“連立１次方程式”について「特別な形の連立方程式」「３元連立１次方程式」「方程式の解からの係数や定数の決定」「２つの連立方程式の共通解」を講義した。
少し時間が余ったので、面積比について「高さが等しい三角形の面積比」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/18 数学Ⅱ

今回から円について、「円周角の定理の証明」「円周角の定理の利用」「円周角の定理を利用した証明」「円周角と弧の定理を利用した証明」を学習した。
テキストp.388～391（新課程版 p.390～393 ）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/13 大学受験数学Ⅱ～微積分の基本定理～

今回は前回残してあった常用対数の問題を学習した後、“積分”に関して不定積分と定積分の定義を講義した。
“積分”に関しては、不定積分と定積分とそれらの間の関係を示す“微積分の基本定理”について、きちんと書かれているものがほとんどないので、オリジナルプリントを用いて説明した。
時間がなく、微積分の基本定理については証明まではできなかったが、次回あらためて行うことにする。
世の中にある教科書や参考書はどれもこれも、不定積分に定数を代入して引き算したものが定積分であるとして、初学者が「不定積分の範囲を定めたものが定積分である」と勘違いするのを誘発しようとしているかのような訳の分からない書き方をしている。もし本当にそれで良いのならば、ニュートンやライプニッツはなぜ“微積分の基本定理”を考え出す必要があったのか、そしてなぜこの定理が数学史上３本の指に入る程の大発見と言われているのかということの説明がつかないではないか！？
当室の生徒には、不定積分と定積分の定義とそれらの間の関係を示す“微積分の基本定理”を正しく学んでもらいたい。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
そして、プリントの微積分の基本定理の証明を自分なりに読んでみること。

10/12 数学Ⅰ

今回は、“図形の面積と長さ”として「基本図形の面積」「２つの三角形の面積が等しい条件」「等積変形」を講義した後、“連立１次方程式”について「加減法」「代入法」「色々な形の連立方程式の解き方」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/11 数学Ⅱ

今回は二次関数の最終回で、「放物線と四角形」「放物線の通る範囲」「放物線と双曲線」を学習した。
テキストp.265～267（新課程版 p.271～273 ）


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/7 大学受験数学Ⅰ～東大と早実の空間図形の問題～

前回に引き続き、今回も“空間図形”を扱った。
この分野で扱う問題が高校入試の問題が中心になってしまうということの説明については、先週のブログ http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/10/929_3.html を参照していただきたい。具体的に今回は、「切断面・展開図」「切断面の利用」を講義した。
できるだけ高校生向けに用意されたものをと考えて、「切断面・展開図」については、この新課程に合わせて出版された参考書・問題集の中から類題を扱ってみたが、この問題も過去に灘、海城高校などで出題されたことのある問題で、結局は高校入試の問題の焼き直しに過ぎなかった。
「切断面の利用」では、昭和48年の東大文系の２次試験の問題を扱ってみたが、この問題も難関高校受験者には必須の内容であって、高校入試においては難問とは言えないレベルの問題で、武蔵、立教、筑波大附属高校などでほぼ同じ問題が出題されたことがある。

「切断面の利用」としてもう１問、早稲田実業の過去問を扱ったが、こちらの方が東大の問題よりも難しいと思う。誘導がついていなければ間違いなくこちらの方が難問である（もちろん、ベクトルの概念を用いてもよいなら簡単である）。

宿題はいつも通り授業の復習をしっかりとすること。そして、早稲田実業の問題については、（１）での考え方が身に付いたことの確認として、（２）を自分でやってみること。もしできなければ、（１）が理解できたことにはならないので、何度でも（１）をやり直してみること。
そして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

10/6 大学受験数学Ⅱ

今回は対数関数を学習した。テキストの途中に、常用対数の問題が割り込んでいたが、授業の流れを重視して、それは飛ばして、テキストの対数関数に関する問題を全て扱った。

テキスト p.184～189，193。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

10/5 数学Ⅰ

今回は、前回の“一次関数（１）”の続きとして、「平行な２直線の方程式」「１直線上にある３点」を講義した後、月曜日に行った総復習テストの直しを行った。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

10/4 数学Ⅱ

前回に引き続き、二次関数について、「放物線と直線」「放物線と三角形」「放物線と四角形」を学習した。
テキストp.262～264（新課程版 p.268～270 ）


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/29 大学受験数学Ⅰ～新課程の“空間図形”分野について

今回は前回の“軌跡と作図”で１問残っていた問題「２次方程式の解の作図」を講義した後、“空間図形”に入った。
これまでも、高校数学Ⅰ・Aには難関高校受験範囲とかぶる部分が非常に多い（というより、ほとんど）と書いてきたが、今回の“空間図形”はその中でも特別とも言える分野だと思う。この分野は本当に長い間、高校範囲からは除外されてきた。空間図形は大学受験でも出題されているではないかと思う人も多いと思うが、ここで言う“空間図形”というのは、空間ベクトルや空間内の図形の方程式を用いないもののことであるので、長らく大学受験に出題されることは基本的になかったのだ。他大学に比べて空間図形の比率が高いとされている東大でも、何十年も前には出題していたものの、ここ30年くらいは「中学入試や高校入試をしていれば知ってて当然だよね」的に少しふれる程度の問題はあるものの、純粋な“空間図形”の問題は出題していないといっても間違いにはならないと思う。だから、この分野の大学入試の過去問がほとんどなく、この新課程に合わせて出版された数少ない参考書・問題集を調べつくしても、難関高校入試問題に比べてかなり簡単な問題しか載っていない。そこで、今回のテキストの問題ははかなりの部分を高校入試問題を用いることにした。やったことがない人は信じられないかも知れないが、何十年も前の東大の“空間図形”の問題よりも、難関高校の“空間図形”の問題（今回扱ったのは灘、早稲田実業、青山学院）の方がはるかに難しい。この分野の大学入試問題がどうなっていくのか、結果が出始めるのは２年半も後のことであるが、動向を見守りたい。個人的には、主要大学では出題されないと思っている。

今回は、「正四面体の立方体への埋め込み」と「正八面体の立方体への埋め込みと正四面体への埋め込み」を講義した。これを知っている人と知らない人とでは、正四面体や正八面体の扱いが全く違ってくる。今回はオリジナル問題を用いたが、過去の高校入試では開成・青山学院など多くの難関高校で出題されている重要問題である。また、大学入試では、2008年の東大第３問（１）で、これを知っていれば数十秒で解けてしまう問題が出題されている。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

9/29 大学受験数学Ⅱ

前回の指数関数のやり残した問題「指数関数の最大・最少（置き換え）」を学習してから、対数の定義と性質を学習した。
次回から対数関数に入る。

テキスト p.177，179～183。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

9/28 数学Ⅰ

前々回の“正比例・反比例”に引き続き、今回は「一次関数の変化の割合」「一次関数の傾き・ y 切片・ x 切片」「直線の方程式」「一次関数で表される直線の方程式の求め方」を講義した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/27 数学Ⅱ

前回に引き続き、二次関数について、「動点の移動」「図形の重なり」「放物線と直線」を中心に学習した。
テキストp.258～261（新課程版 p.264～267 ）


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/15 大学受験数学基礎Ⅰ

今回は“軌跡と作図”から「移動する定線分の中点の軌跡」「円外の点から円に引いた接点の軌跡」「面積比から求める点の軌跡」「線分の分割の作図」「線分の長さの最大・最小の作図」「面積の二等分線の作図」を講義した。

“軌跡と作図”は今年からの新課程で数学Ⅰ・A として追加された項目の１つであるが、やはり、他の平面図形の項目同様、高校生よりも難関高校受験予定の中学生にとって重要な内容だろう。センター試験ではその性質上、作図を課すことはできないだろうし、センターでなくても、軌跡については今回の初等幾何的なものよりも、数学Ⅱの“図形と方程式”で扱う代数幾何的なものの方が出題者には好まれるであろうから、これらの内容が主要大学の２次試験で出題される可能性は極めて低いと思う。一方、高校入試においては、作図は好んで出題されるし、軌跡の問題を出題しようとするならば、中学生が代数幾何的手法を習っていないために、初等幾何的なものしか出題することができないからだ。
そうは言っても、高校生も前回の授業で概要を説明した時に扱った、「基本の軌跡」と「基本作図」は考えなくてもすぐにできる様にしておかなければならない。難関高校受験予定の中学生は言うに及ばずである。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
既習内容の総復習も忘れないこと。

9/15 大学受験数学基礎Ⅱ

今回から“指数関数・対数関数”に入った。
今回は指数関数について学習した。
テキスト p.168～176。

宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

9/14 数学Ⅰ～数学の役割～ 「数学なんて社会に出たら役に立たない」という大人たちへ

今回はこれまで学習してきた幾何の総まとめとして“中点連結定理”を講義した。
具体的には「中点連結定理（三角形）」「中点連結定理（台形）」「中点連結定理の利用」「中点連結定理の逆」を扱った。

中点連結定理の証明を正しくできる人は世の中にほとんどいない。「そんなバカな！」と思う人は多いと思うが、本当の話である。嘘だと思う人は、ご自分でやってみてもよいし、身近にいる東大・京大・早慶・国公立医学部の学生などに訊ねてみてもよいと思う。私が過去に試してみた結果でいうと、最も偏差値が高い東大理Ⅲ（医学部医学科）の人も含めて誰も正しく証明できたことがなかった。皆さん口をそろえて「相似の性質を使えば明らか」と言うのだが、相似の性質は中点連結定理（の拡張）によって証明されるので、相似の性質を使って中点連結定理を証明することはできないのである。しかし、文科省の検定教科書は相似の性質を証明せずに、その相似の性質を使って中点連結定理を証明するという“反則技”を犯している。それを、注意する指導者もいない上に、本質を考えることよりも点数を取ることが大切な受験生たちは、それを鵜吞みにして何も疑わずに、上記のような情けない結果となってしまうのである。

もちろん、当室の授業では正しい証明を講義する。


「数学なんて社会に出たら何の役にも立たない」という大人は多いが、そのような人には「ならば、あなたは生まれてから今日まで“論理”というものをどのようにして学んだのですか？」と尋ねてみたい。
“論理”の中でもっとも単純なものは三段論法だが、それを明確に学ぶのは中学の幾何においてである。それ以外に明確に学ぶ機会が他に何かあったというなら、それは何なのか教えていただきたい。つまり「数学が役に立たない」という言葉は「私は論理的に物事を考えない」と言っているのと同じことなのである。数学の細かい内容の学習がその後の人生に役立つことはなかったとしても、数学から学んだ“論理”だけはその後の人生に役立てなければならないはずである。その意味でも、数学を学習するときに最も大切にしなければいけないのは“論理”であるから、中点連結定理の証明を相似の性質によって行うというのは絶対にしてはならないことなのである。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/13 数学Ⅱ

前回に引き続き、二次関数について、「変域」「変化の割合」を中心に学習した。
テキストp.254～257（新課程版 p.260～263 ）


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/8 大学受験数学基礎Ⅱ

前回に引き続き、“定点通過・束・曲線の通過領域・パラメーター分離”から「曲線の通過領域」について、順像法、逆像法、パラーメーター分離の３つの方法で講義した。



宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

9/7 数学Ⅰ

前回に引き続き、今回は「象限」「関数のグラフ」「比例と反比例の定義」「比例と反比例のグラフ」「比例と反比例の性質」「比例と反比例の式の求め方」を講義した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/6 数学Ⅱ

今日から

“２乗に比例する関数

” いわゆる 二次関数で最も簡単なものの学習を始めた。

テキストp.248～253（新課程版 p.254～259 ）


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

9/6 Yahoo! トップページ プレジデントファミリー広告

モバイル版 Yahoo! トップページのプレジデントファミリー8月号広告に私の取材記事が掲載されているとの連絡をいただいた。半信半疑だったが、本当に Yahoo! トップページに出ていて驚いた。
いつまでリンクが有効かは不明だが、ブログを読んでくださっている方の中には興味を持たれる方もいらっしゃるかもしれないので、一応リンクを貼っておくことにした。

http://zasshi.news.yahoo.co.jp/article?a=20120904-00000001-pfamily-soci


リンクが終了してしまったら、取材記事をブログにupすることにしようとは思っているが・・・

9/1 大学受験数学基礎Ⅱ～束に関する注意点～

今回は“定点通過・束・曲線の通過領域・パラメーター分離”から「定点通過」「定点通過と束」「束の利用法」「束の利用に関する注意点」を講義した。
束に関する議論はどの参考書・問題集（塾・予備校のテキストも含む）でも非常にいい加減で、論理的に穴だらけである。
まず、２曲線（直線）の交点が存在しない場合には、束を用いた議論は意味がないので、まず最初に交点が存在することを確認しておかなければならないが、それすらも書いていない（説明では書いていても解答には書いていない）ものばかりであるし、さらに束で求めた曲線（直線）以外に題意を満たす曲線（直線）が存在しないことの確認をしているものはほとんど見たことがない。
しかし、束が２曲線（直線）の交点を通るすべての曲線（直線）を表していない以上、この確認は絶対に必要なはずである。

この部分は、私が高校生の時に参考書・問題集の解答を読みながら、腑に落ちずにモヤモヤしていたのだが、当時数学がかなりできた同級生達（全員東大or京大に進学）にきいても何の疑問も持たずに素通りだった。「なんだ、みんな数学の問題が解けるだけで大して理解はしていないんだなぁ～」と思ったので、とても記憶に残っている。
今回は、どの参考書・問題集にも書かれていない解説ができたと思う。


宿題は今日の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

9/1 大学受験数学Ⅰ～来週から総復習テスト開始（高校生）

前回の“基本的な関数のグラフ・グラフの移動と変形”の続きとして、「グラフの移動・変形」「２次関数のグラフの移動」「２次関数のグラフのかき方」「２次関数のグラフの相似性」「反比例（双曲線）のグラフの移動」「分数関数のグラフの移動」を、そして“２次関数のグラフ”から「２次関数のグラフ」「２次関数のグラフの頂点と軸」を講義した。

宿題は今日の復習をしっかりとして次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。
また、授業中に予告をしたのだが、高校生は来週から授業内容の復習テストに加えて、これまでに学習した内容からの総復習テスト（30分程度のもの）を実施する予定だ。先週分の内容だけの復習テストだと我武者羅に解答を暗記して得点する生徒が出てくるのだ。そういう生徒の答案は見ればすぐにわかるので、注意はするのだが、そもそも暗記科目ではない数学の復習テストを暗記で乗り切ろうというような間違った考えを持っている生徒には効果がないことが多い。そこで、総復習テストを実施することにした。さすがにこれまでの範囲全てを丸暗記してくることはできないだろうから、理解をせずに暗記に頼っている生徒は得点できないはずである。もちろん、総復習テストの目的はそれがメインではない。しっかり理解している生徒でもやはり時間とともにその記憶はあいまいになっていくものだから、復習の機会を与えられればと考えてのことである。こんなことをせずとも、自分から率先して復習してくれればそれに越したことはないのだが、中々そうはいかないのが現実だということくらいは10年も指導をしている者にとっては明らか ( trivial ) な命題である。

先週の復習テストで得点するのは当たり前だが、総復習テストでも得点できるように復習してきてもらいたい。

プレジデントファミリー発売（8/18 ）

以前お伝えしたプレジデントファミリー社の取材内容が掲載された号が8/18に発売された。
取材内容は「本当にお得な大学附属中学高等学校はどこか？」で、皆さんが考えないような視点で“お得”を提示できているかと思う。
詳しい内容についてはもう少し日をあけてからお伝えすることにするので、興味のある方は書店で手に取ってもらいたい。

正直言って、私の取材内容はどうでもいいのだが、この号は全体的に読む価値のある内容になっていると思うのでお勧めしたい。というのも、色々な観点から中学・高校のランキング付けをしているのだが、その際に使われた実績のデータが、これまでの合格実績から進学実績へと変更されている点が注目に値するからだ。前回プレジデントファミリー社から取材を受けた号では、「実績は合格実績ではなく進学実績でないと意味がない」という私の意見が掲載されている一方で、他のページで記載されていた実績はどれもこれも合格実績ばかりだったため、はっきり言って何もわかっちゃいないんだなぁ～と幻滅していた。しかし今回は、進学実績データをもとにしているものが多く、受験生や保護者も「水増し合格者数」に騙されることがなくなると思う。（合格実績での記載の場合、例えば１人が早稲田大学３学部に合格した場合には、３名合格として計算したりするため、本当の人数よりもかなり水増しされた人数が発表されていることになる。）

このように実績が進学実績で発表されるのが当たり前の世の中になっていくことを切に願っている。

中学・高校が自主的でないにせよ（各学校のホームページではまだまだ進学者数ではなく合格者数での発表が主流である）、進学者数を発表するようになった以上、次は塾・予備校もこれに倣うべきではあるまいか？！　水増し合格者数でないと、卒業生徒数（これも発表しないのだが…）に対してあまりに数字がショボくて発表できない大手塾さんたちは、絶対に賛同しないと思うが、「進学者数を発表できないということは何かやましいことがある」ということが受験生や保護者の間のコモンセンスになれば、少しは世の中変わるのではないかと思う。

8/31 数学Ⅰ

前回の“いろいろな四角形”の残りとして、台形についてその定義、等脚台形の定義と性質を講義した。そして、今回から“関数”の学習に入った。

関数は「数」という文字が入っているが、これはその概念が中国を通して入ってきたことが原因であって、何も数字だけを扱うわけではないと注意した上で、座標平面（xy平面）の説明をした。実際、関数を英語では function と言うのであり、そこに“数”を意味する言葉は入っていない。

前回の数学Ⅰのブログでたまたまデカルトについて触れたが、まさにこれから学習する内容はデカルトの偉業に少しばかり触れられる内容である。まず今日は「点の座標」「中点の座標」「対称点の座標」について学習した。

デカルトの有名な言葉「我思う、ゆえに我あり」は、全てのものを疑って真実を追い求めた彼が行き着いたのは、そのようにして考えている自分の存在のみは疑えないというものであったわけだが、デカルトの考え出した座標平面を学習するにあたって、全てを疑ったというデカルトに敬意を払って、２点A,Bの中点の座標がA,B のx座標y座標どうしの平均になるという誰もが当たり前としていること（教科書にも参考書にも証明は書かれていない）の証明を例題として扱った。中点の座標の求め方については中１内容となっているが、やってみれば分かる通りその証明には平行線の公理や直角三角形の合同条件が必要になる。作図の項目でも書いたことだが、やはりきちんと理解を伴った学習をするためには文科省の定める順番ではダメなのだということが分かる。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/30 数学Ⅱ

この４回の授業は夏期特別時間割として“場合の数・確率”を学習してきたが、今日からは平常授業に戻って、“２次方程式の利用”の続きから授業を行った。
テキストp.186～188（新課程版 p.192～194 ）

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/25 大学受験数学Ⅱ

前回に引き続き“領域に関する問題”から「領域における最大・最小」「領域における最大・最小の利用（線形計画法）」「領域と真理集合」を講義した。


宿題は今日と前回の復習をしっかりとして、次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/25 大学受験数学Ⅰ～演繹的方法～

前回の“関数の一般論”に引き続き、今回は“基本的な関数のグラフ・グラフの移動と変形”を講義した。
具体的には、「基本的な関数のグラフ」「グラフの平行移動」「グラフの拡大・縮小」「グラフの折り返し」「グラフの移動・変形」「絶対値のついた関数のグラフ」について学習した。

「基本的な関数のグラフ」と「絶対値のついた関数のグラフ」とについてのみ具体的な関数を扱ったが、それ以外の議論はすべて一般的な関数 f(x) として扱った。文科省の検定教科書やほとんど全ての参考書・問題集が、グラフの移動・変形を具体的な関数で学習していく方法をとっているのだが、この方法は非常に効率が悪い。まずは一次関数のグラフを移動・変形したグラフの方程式を考えて、次に二次関数のグラフを移動・変形したグラフの方程式を考えて・・・としていくわけだが、これでは新しい関数が出てくるたびに、個別にその関数のグラフを移動・変形したグラフの方程式を考えなければならない。ところが、これらはすべて全く同じ方法で考えるのであるから、効率が悪いことは素人が考えても明白である。

そこで、当室では関数の移動・変形は一般の関数 f(x) で最初に考えておいて、それを具体的な関数に適用するという演繹的方法を採用している。必ず身に付けてもらいたい。


宿題は今日の復習をしっかりとして次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

8/24 数学Ⅰ～「数学なんて社会に出たら何の役にも立たな い」と言う大人達へ～

今回は、“いろいろな四角形”を講義した。
前々回、平行四辺形について学習したが、その続きとして、平行四辺形の中でも特別なもの（長方形、ひし形、正方形）についてその性質や相互の関係を学習した。これらの図形については小学校４年生ですでにその性質を学習しているのだが、それらはすべて教科書に書かれていることや学校の先生の言うことを無条件に信じていただけのことで、何の理由も根拠もない。中学での図形の学習の第一歩は、小学校の時に無条件に信じ込まされてきた基本図形の性質を証明することによって、それらが正しかったという根拠を与えることである。

以前にも書いたことだが、「数学なんて社会に出たら何の役にも立たない」と言う大人がよくいるが、彼らは数学の学習の意味を全く理解していないといえる。中学数学の図形の学習は、図形の性質を理解することはもちろんであるが、その証明を通じて論理性を身につけさせると同時に、「他人の言うことを鵜吞みにせず、信じるのは自らの論理的な理性である」という精神を身につけさせるものでもあるのだ（もちろん、文科省の指導要領にそんな目的が掲げられていないことは言うまでもないことだけれど）。「数学なんて社会に出たら何の役にも立たない」と言うのは、「私は何の論理性も身に付けずに今日まで生きてきました」と言っているのとほぼ同義である。そのような人はデカルトの「方法序説」をきちんと読んでもらいたいものだ。「我思う、ゆえに我あり」というデカルトの有名な言葉だけを知っていても意味などないのだから・・・



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/23 数学Ⅱ

今日は、“確率”から「組合せと確率」、「事柄 A が起こらない確率」「さいころの目の確率」「ジャンケンの確率」「動点の確率」を講義した。
夏期特別時間割期間に講義した「場合の数・確率」は中学生が学ぶべき論点はほぼ全て網羅してある。それでも超難関校（ICU含む）対策としては少し足りない点もあるので、今回の内容を完璧にできるようになった人には来年の大学受験数学基礎Ⅰの「場合の数・確率」を学んでもらう。
今回の内容があやふやな人がそれ以上のことをやっても何も身につかないだけでなく混乱してしまうだけなので、あくまで、完璧になっている人だけであることを忘れないでいただきたい。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと

8/22 大学受験数学基礎Ⅱ～領域に関する問題～

今日は“領域に関する問題”から「不等式の表す領域」「連立不等式の表す領域」「絶対値記号を含む不等式の表す領域」「正領域と負領域の利用～直線と線分が交わる条件～」「正領域と負領域の利用～３直線で作られる三角形の内心の座標と内接円の半径～」を講義した。

「不等式が表わす領域」は直感的にもわかりやすい内容であるが、境界を含む場合と含まない場合や端点を含む場合と含まない場合の扱いには注意が必要である。また、「絶対値記号を含む不等式」ではできるだけ場合分けを省略できるように、対称性に注意することが大切だ。
「正領域と負領域の利用」の問題としては基本的で代表的なものとして、「直線と線分が交わる条件」「３直線で作られる三角形の内心の座標と内接円の半径」を求める問題を紹介した。

8/22 大学受験数学Ⅰ

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅰ第４回目は“整数”から「不定方程式の解法の総合演習」「算術級数定理がテーマの問題」「フェルマーの小定理」「フェルマーの小定理の利用」「ピタゴラス数」を講義した。

第３回目のブログで、不定方程式について「これらをマスターすれば基本的な不定方程式で解けない問題はないはずである」と書いたが、そのことを「不定方程式の解法の総合演習」で実証して見せた。今回扱った問題は前回扱ったものよりレベルが高い問題であるが、どれも前回用いた３つの基本的アプローチのいずれかで解けるということを説明した。

整数問題は有名な定理が多いため、高校入試や大学入試でもそれらをテーマにしたもの、簡単にしたもの、誘導形式にしたものなどがよく出題される。今回はそれらについて少しだけ学習した。ピタゴラス数については今回講義したものを誘導形式にした問題が、ずいぶん前ではあるが、慶應女子高校で出題されているので、近いうちに中学生に演習として解いてもらおうと思っている。

8/11 大学受験数学基礎Ⅱ～軌跡に関する問題～

先週の授業で“数列”は一段落ついたので、水曜日から土曜日に“図形と方程式”の授業を持ってくることにした。今回から“図形と方程式”は軌跡、領域、定点通過、束といった、受験生が苦手とする分野に突入するのと、水曜日よりも土曜日の方が生徒の出席率がよいということを考慮した措置だ。

今日は“軌跡に関する問題”から「軌跡の求め方（初等幾何の利用・座標軸を定める必要のある場合）」「一般的な奇跡の求め方」「実践的な軌跡の求め方（順像法）」「実践的な軌跡の求め方（逆像法）」「２直線の交点の軌跡（順像法・逆像法・図形的性質の利用）」「直線と曲線の交点の軌跡」を講義した。

この分野はなかなか独学が難しいと思う。また、同値変形を知らないと論理的な誤りを犯しやすい問題が多い分野でもある。私が受験生だった頃は、この分野では駿台予備校の夏期講習「数学総合研究」が有名で、すべての講座が申し込み開始後数日で完売すると言われていた。「数学総合研究」という名前なのに、全く総合的ではなく、軌跡や領域の問題がほとんどであった記憶があるが、とてもためになる数少ない数学の講座だった。（さすがに今はもう行われていないだろう。当時の「数学総合研究」担当講師であった根岸先生や青塚先生ほど力量のある講師が、現在の駿台にいるという評判は聞かないから・・・）
この分野の参考書・問題集としては前述の「数学総合研究」の講義をまとめ上げ、さらに詳しくしたような内容になっている「新数学問題の解法　写像と軌跡（駿台文庫）」がずば抜けて素晴らしいが、残念ながら絶版であり、アマゾンなどでは２万円近くの値がついたりしている。

これから数回の授業は「数学総合研究」や「新数学問題の解法　写像と軌跡」を初学者向けにコンパクトにまとめた上で、これらには注意されていない論理的に誤りやすい部分に重点を置いたものにしようと考えている。

8/11 大学受験数学Ⅰ

今回は“軌跡と作図”を講義する予定だったが、生徒たちのこれまでの平面図形の授業内容の習熟度から、夏期休暇中に総復習してもらった後の方がよいと判断して、“関数の一般論”を講義した。
具体的には、「関数の定義域、値域、終域」「関数の相等」「１対１写像（単射）」「上への写像（全射）」「上への１対１写像（全単射）」「合成関数」「逆関数」。


宿題は３月から今日までの授業の総復習。特に“場合の数”と“平面図形”の復習には力を入れてもらいたい。

8/10 数学Ⅰ

今回は、“比例式”を講義した。
小学校の時にも習う“比”であるが、中学以降の比では、２つの数がともに 0 でない場合ならどんな数でも扱うことになる。つまり 100 : 0 や 2 : －1 なども扱うのである。
ただし、そのためには小学校で習った“比の相等”の定義を変更しなければならない。
まずは、小学校で習った比の相等の定義を思い出してもらいたい。思い出せない人は、自分が小学校の教科書の算数ですら曖昧にしか分かっていないということを自覚して、小学校の教科書からやり直すことをお勧めしておく。

講義の具体的内容は「比・逆比・比の値・比の相等の定義」「比の計算」「比例式の性質」「比例式の扱い方の注意点」「連比・連比の相等の定義」「連比の計算」。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
また、来週は夏期休暇でお休みなので、この２週間で第１講から第19講（今回）までの総復習をしておくこと。

8/9 数学Ⅱ

前回に引き続き、“場合の数（数え上げの基本）”から「組合せ」「組合せ nCr の応用」を講義した。
中学範囲で必要とされる数え上げの基本はこれですべて網羅できているので、しっかり復習してもらいたい。中学範囲の“場合の数・確率”では、難しい問題のほとんどが“確率”ではなく“場合の数”に属する問題だということも意識しておいてもらいたい。
さらに、“確率”から「確率計算の基本」「順列と確率」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと

8/8 大学受験数学Ⅱ

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅱ第３回目は“図形と方程式”から「弦の長さ」「極と極線」「２円の共通接線」「円と放物線が４点で交わる条件」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

8/8 大学受験数学Ⅰ～入試数学攻略法と本テキストの役割～

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅰ第３回目は“整数”から「合同式の復習」「合同式の利用法」「ディリクリの引き出し論法」「Ax + By = C 型不定方程式の解法」「xy + Ax + By + C = 0 型不定方程式の解法」「Axy + Bx + Cy + D = 0 型不定方程式の解法」「大きさの評価の利用による不定方程式の解法」を講義した。これらをマスターすれば基本的な不定方程式で解けない問題はないはずである。



今日は夏期休暇前の授業ということもあり、大学受験数学基礎クラスで扱っている教材の趣旨と勉強法について説明した。

（注）再テストまで実施するのは中学生までです。高校生になって、そこまで他人に“やらされなければ”勉強しないというのなら、受験なんてしても意味がないということくらいは理解できるようになりましょう。

今年度からの数学Ⅰ・A改定に追いつけていない出版社が多いため、類題探しに適する問題集・参考書は限られてしまうので、参考までに例を挙げておく。

新課程版・チャート式解法と演習（通称黄色チャート）（数研出版）・・・テキストと同レベルまたは少し簡単な問題で試したい人向け

大学受験数学基礎クラスでは、通常の高校生用問題集・参考書に掲載されている内容であっても、当室の数学Ⅰ・Ⅱ（中学数学）で扱った内容（中学の教科書には載っていなくても、市販の中位レベルの中学生用問題集には通常掲載されているもの、つまり、高校入試には出題されているもの）については扱わないので、そのあたりの復習に上記の本を用いても良いであろう。
完全に忘れてしまっていて自分一人ではできそうにない人や、当室の数学Ⅰ・Ⅱに参加していなかったためよく分からないという人は、担当講師に相談して下さい。


宿題は授業の復習をしっかりとして、一日も早く、上記の意味でテキストおよび授業内容を“完璧”にすること。

8/4 大学受験数学Ⅱ

今日は数学的帰納法を学習した。
テキストでは28７～291にあたる。
今日で“数列”分野の基本は一通り終了した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/4 大学受験数学Ⅰ

前回に引き続き、“円の性質”から「円に内接する四角形」「トレミーの定理」「方べきの定理」「方べきの定理の逆」を講義した。

今回扱った“円の性質”もやはり、高校生よりも難関高校受験予定の中学生にとって重要な内容かもしれない。これらの内容が主要大学の２次試験で出題された記憶はほとんどないが、高校入試では最難関高校（国際基督教大学附属含む）で何度も取り上げられている。高校１年生にとっては平成27年からセンター試験の数学Aは選択とはなるものの、３問中２問は解答しなければならず、“場合の数・確率”、“整数の性質”、“図形の性質”からそれぞれ１問の出題が予想されるから、“場合の数・確率”、“整数の性質”のいずれかが不得意の者は、必然的に“図形の性質”からの出題を選択するつもりで対策しておかなければならないということを忘れてはならない。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/3 数学Ⅰ

今回は、３週間ぶりの証明の学習として“平行四辺形”を講義した。
平行四辺形の性質や平行四辺形になるための条件の証明はすべて、平行線の公理か三角形の合同条件を用いるものなので、これまでの証明の復習にはもってこいなので、しっかり復習してもらいたい。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

8/1 大学受験数学Ⅱ

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅱ第２回目は“図形と方程式”から「角の二等分線の方程式」「円の方程式（標準形）」「円の方程式（一般形）」「円の方程式（直系の両端の座標が分かっている場合）」「円と直線の位置関係」「円上の点との距離」「円の接線の方程式」「円外の点から引いた接線の方程式」を講義した。



宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

8/1 大学受験数学Ⅰ～合同式～

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅰ第２回目は“整数”から「ユークリッドの互除法」「記数法」「合同式入門」「合同式の定義と基本性質の証明」「合同式の利用法」を講義した。
合同式に習熟するポイントは以下である。

にもかかわらず、合同式の定義を無視してイメージの方を持ち出して合同式の性質を証明している参考書の何と多いことか・・・
合同式の定義を用いればたったの１行で終わる証明に、何行もかけて証明を行うというのは全くの意味不明である。それに商を持ち出すのでは合同式のうま味がないではないか！？
参考書を書いているのはそれなりの大学や予備校・塾の先生達なのになぜこのようなことをするのか？　
それは合同式を考え出した数学者へのリスペクトが足りないからだろう。あなた方よりはるかに頭のいい数学者が考えに考え抜いて合同式の定義を決めたという事実を忘れてはならないはずだ！

生徒達にはこのようなダメなことを真似ないでもらいたい。


宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

7/28 大学受験数学Ⅱ

今日は３項間漸化式の解法を学習した。
テキストでは284～286にあたる。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/28 大学受験数学Ⅰ

今日は、前回に引き続き“三角形の五心”から「傍心の存在」「傍接円の半径」、“円の性質”から「円周角の定理の逆」「接弦定理」「円に内接する四角形」を講義した。

今回扱った“円の性質”もやはり、高校生よりも難関高校受験予定の中学生にとって重要な内容かもしれない。これらの内容が主要大学の２次試験で出題された記憶はほとんどないが、高校入試では最難関高校（国際基督教大学附属含む）で何度も取り上げられている。高校１年生にとっては平成27年からセンター試験の数学Aは選択とはなるものの、３問中２問は解答しなければならず、“場合の数・確率”、“整数の性質”、“図形の性質”からそれぞれ１問の出題が予想されるから、“場合の数・確率”、“整数の性質”のいずれかが不得意の者は、必然的に“図形の性質”からの出題を選択するつもりで対策しておかなければならないということを忘れてはならない。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/27 数学Ⅰ

前回に引き続き、“１次方程式の利用”として「速さに関する問題」「過不足に関する問題」「濃度に関する問題」「利益に関する問題」を講義した。



宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/25 大学受験数学Ⅱ ～“図形と方程式”難関高校受験生にも必要とされる内容～

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅱ第１回目は“図形と方程式”から「線分の分点の座標」「三角形の重心の座標」「２直線の平行・垂直条件（標準形）」「２直線の平行・垂直条件（一般形）」「平行な直線・垂直な直線の方程式」「文字を含む２直線の平行・垂直」「点と直線の距離」「座標平面上の三角形の面積」を講義した。

この分野は現在の文科省指導要領で高２ということになっているので、一応、復習も兼ねて大学受験数学基礎Ⅱ“図形と方程式”の第１回目としたが、文科省の指導要領の中でも最もダメなところだと思う。なぜならば、これらを使う問題は難関高校では普通に出題されている内容であり、難関高校を受験する高校生なら絶対に知っておきたい内容ばかりであるからだ。 そこで、今回は難関高校受験予定および難関私立中学在学中の中学３年生にも特別に参加してもらった。全ての事項に細かく証明を行ったが、中学生はこれらは納得してもらうだけでよく、発展公式として使えるようになってもらいたい。ただし、難関大学受験志望の高校生はいつでも自分でこれらの証明を再現できなければならない。かつては、教科書に出てくる基本公式の証明はできなくても使えればよいというのが、大学受験界での常識であったが、その常識は1999年以降覆っている。東京大学が理・文共通問題として、三角関数の加法定理を証明させる問題を出題したからである。



宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

7/25 大学受験数学Ⅰ～“整数”という分野～

夏期特別時間割の大学受験数学基礎Ⅰ第１回目は“整数”から「素数と素因数分解」「素数の基本性質」「互いに素な整数の個数」「互いに素の利用法」「n!が素数で割り切れる回数」を講義した。

この“整数”という分野は受験生にとってはかなりの曲者で、今年度の高１から課程内とされたが、これまでかなり長い間中学でも高校でも課程外とされてきたにもかかわらず、難関高校および難関大学ではずっと出題され続けてきた分野である。そのため苦手とする生徒が非常に多いのだが、この分野を克服するために重要なことは、まず以下のことを理解して学習することである。

中学・高校の範囲の数学において用いる整数の性質は実は非常に少なく，ほぼ次の３つに限定される．
１）　素因数分解の可能性および一意性
２）　整数はある数で割ったときの余りによって分類することができる（「合同式」）
３）　整数は大きさが評価できる
この３つのことを常に頭において整数問題に取り組むだけで、苦手をかなり克服することができるので、頭に叩き込んでおいてもらいたい。


宿題は授業の復習をしっかりとしておくこと。

7/21 大学受験数学Ⅰ

今日は、“メネラウスの定理・チェバの定理”と“三角形の五心”から「メネラウスの定理」「メネラウスの定理の逆」「メネラウスの定理の利用」「チェバの定理」「チェバの定理の逆」「チェバの定理の利用」「重心・内心・外心の存在と一意性」「重心の性質」「内心の性質」「垂心の存在と一意性」を講義した。

今回扱った内容もやはり、前回同様、高校生よりも難関高校受験予定の中学生にとって重要な内容かもしれない。これらの内容が主要大学の２次試験で出題された記憶はほとんどないが、高校入試では最難関高校（国際基督教大学附属含む）で何度も取り上げられている。高校１年生にとっては平成27年からセンター試験の数学Aは選択とはなるものの、３問中２問は解答しなければならず、“場合の数・確率”、“整数の性質”、“図形の性質”からそれぞれ１問の出題が予想されるから、“場合の数・確率”、“整数の性質”のいずれかが不得意の者は、必然的に“図形の性質”からの出題を選択するつもりで対策しておかなければならない。また、数学Bにはなっているものの多くの受験生が選択する“ベクトル”の問題で、分点の公式を使うよりもメネラウスの定理やチェバの定理を用いる方がはるかに早く解ける問題もあるので、やはり身に付けておかなければならないだろう。

来週から夏期特別時間割で授業を実施するので、大学受験数学基礎Ⅰは週に２日（水・土）となる。水曜日は“整数”を土曜日は今回に引き続いて“三角形の五心”から「傍心」と“円の性質”を扱う予定。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/21 大学受験数学Ⅱ

今日は２項間漸化式の様々な解法を学習した。
テキストでは279～283にあたる。

来週から夏期特別時間割で授業を実施するので、大学受験数学基礎Ⅱは週に２日（水・土）となる。水曜日は“図形と方程式”を土曜日は今回に引き続いて“漸化式”から「３項間漸化式」を扱う予定。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/20 数学Ⅰ

今日は前回に引き続き、作図問題を扱った。具体的には「接線の作図（平行線の作図）」「折り目の作図」を講義した。この時期に作図問題を扱っている理由については http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/07/blog-post_15.html を参照していただきたい。
また、残りの時間で“１次方程式の利用”として「等式の変形」「整数についての問題」「個数と代金についての問題」を講義した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/19 数学Ⅱ

今日は２次方程式の利用を学習した。
テキストでは p.180,183～185（新課程版 p.186,189～191）にあたる。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/18 理想のテキスト完成を目指して

当室がこれまで築き上げた実績。それは超難関校受験者の合格率であり、そして世間で難関高校とされている高校への進学率である。
例えば、超難関校受験者の合格率でいうと、開成高校受験者７名中合格者６名。筑波大附属駒場高校受験者２名中合格者２名。世間で難関高校とされている高校への進学率は、卒業生の７割である。
こんなことを真似できる塾が他にないことは明白である。

現在、「これまで１０年間で築き上げた実績がなぜ可能であったのか」ということを反映した教材作成にいそしんでいる。これまで自分が指導してきた内容は自分が一番よく分かっているし、他塾とは何が違うのかも、そしてそのどこが他塾には真似のできない結果に結びついてきたのかということも、私が一番分かっているつもりだが、そこは謙虚になって、指導者の独りよがりにならないように、卒業生の意見も伺うようにしている。この３月に大学入試を終え、東京大学合格・慶応大学医学部進学を果たした矢野君に、色々と訊いて参考にさせていただいている。

矢野君は小学６年生の最初（小５の３月）から当室に通い始めたが、中学受験をするわけでもなかったので、ほとんど特別に勉強しているというわけではなく、当室の少ない宿題だけをまじめにコツコツやってくるという生徒だった。だから、塾での学習の成果が出始めたのも早かったわけではなかったし、特に数学ができるようになったのは中３の秋以降だった。それまでは、じっくりと基礎学力の徹底をはかっていたという感じだ。しかし、いざその基礎学力が完成したら（時期的には新年を迎えてからであったが）、当室卒業生の中でも３本の指に入る実力を発揮するようになった。本人は安全パイで筑駒を受けなかったが、受ければ間違いなく合格していたと思う。そのように、我々が与えたものだけを完璧にすることによって実力を付けた生徒だからこそ、彼の意見はとても参考になるのだ。

昨年一年かけて、中学数学の計算力を完成させることのできる問題集を最優先にして書き上げたhttp://eisuken2012.blogspot.jp/2012/01/blog-post_24.html。
今年は、中学数学の受験レベルでの標準的学力をつけられるテキスト（これを完璧に習得すれば、駿台全国模試（中３）で偏差値55～60は確実に取れるというもの）と高校数学Ⅰ・Ａ の受験レベルでの基礎学力を身に付けられるテキストを作成している。やはりここでも、自分の独りよがりの問題選別にならないように注意して、あらゆる市販の本（旧課程や古いものでは３０年位前のものまで）だけでなく、大手塾・有名塾・大手予備校の教材にも目を通して問題を選んで、時には改題を作成するという作業を繰り返し行っている。これは他人が思うより神経の使う作業で、教えなければならない「論点不足はないか？」、「典型的な問題で抜けているものはないか？」ということに気を配らなければならない。安易に問題数を増やすだけなら、このような神経は使わなくて済むわけだが、それは素晴らしいテキストとは言えない。なぜなら、それは指導者の力量ではなく、生徒の猛勉強に期待するというやり方だからだ。開成高校合格〇〇人とか東大現役合格〇〇〇人とかいう塾のテキストは、私の知る限りものすごい分量で、生徒の猛勉強がなければやり終えることなど到底できないものばかりである。当室で生徒に出す課題の10倍以上はある。「そりゃ～、そんだけガリ勉させられたら受かるんだろうけど、そんなにやらされなきゃいけないってことになんか疑問を持たないのかね？？ 受験勉強はできるんだろうけど、完全な思考停止だな、これは。」と思ってしまう。
確かに、ある段階まで到達できた後には、問題演習やテスト演習も必要であるが、そのような大量の問題演習を早い段階からやる必要はない。もっと基礎学力の完成と論点漏れに気を使うべきである。逆に言えば、他塾がそのようなテキストしか作成できずに、多くの生徒を潰していってくれるから、当室のようなちっぽけな塾がこのような実績を残してこれたとも言えるのだが、犠牲になっている多くの子供たちがいるということを考えると、喜ぶわけにもいかない。

塾選びの段階でほとんど勝負は決まっているというのは、ある意味で真実のような気がする。

7/14 大学受験数学Ⅱ

今回は、前回の“和分法”の説明に引き続き、具体的に和分法を用いる問題の練習と、「群数列」「奇数番目と偶数番目の項の一般項が異なる数列の和」を学習した。

テキストp.270, 272, 274～276

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/14 大学受験数学Ⅰ～nCr の３つの意味～

今日は、“２項定理と多項定理”の残りから「nCr  の３つの意味」「nCr の等式の証明」と“三角形の辺と角の大小・成立条件”から「三角形の辺と角の大小」「三角形の成立条件」「中線定理」を講義した。

ほとんどの参考書や塾・予備校テキストなどではふれられていないが、nCr  には以下の３つの意味があることを注意して使い分けなければならない。

“三角形の辺と角の大小・成立条件”については、「中線定理」も含めてその内容はもともと中学課程のものである。その意味では、高校生よりも中学生にとって重要な内容かもしれない。主要大学の２次試験で出題された記憶はほとんどないが、高校入試では最難関高校（国際基督教大学附属含む）で何回か取り上げられている。

「場合の数」の次は「確率」を講義するのが普通だろう？と思われた方もいらっしゃると思うが、当室のようにもともと勉強熱心な生徒がほとんどいない塾では、「場合の数」を講義したからといって生徒がすぐにそれをマスターするわけではない。そこで「確率」は10月からやることにして、それまでは他の項目を講義することにしている。夏休み期間を利用してしっかり「場合の数」をマスターしてもらいたい。
宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/13 数学Ⅰ～作図問題の学習時期について～

今日は作図問題について、「基本作図」「垂線の作図」「等しい距離にある点の作図」「角の作図」「円の作図」を講義した。

中１のどの検定教科書でも、図形分野では「図形の移動」の次に出てくる「作図」であるが、この順序になっている意図は全く理解できない。なぜならば、「三角形の合同条件」や「二等辺三角形の基本性質の証明」を学習しない限り、中１の教科書に出てくるレベルの作図でさえ、なぜそのようにすれば作図できるのかという理由を説明することはできないからである。文科省の言い分は「だからと言って、中１の最初に「証明」を学習させるのは、全ての中１生（特に、小学校の算数の学習がかなりあやふやな生徒）にとって適切とは言えない」ということなのだろうが、それなら「作図」を「証明」の後（教科書では中２）に持ってくればいいだけの話である。何も中１の図形分野の最初の部分に持ってくることはなかろう。たぶん、「どうせ、ほとんどの中学生に作図の本質なんて理解できないのだろうから、中１の最初にお絵かきとしてやらせておけばいい」というくらいに考えているのだろう。バカにした話である。

そもそも作図問題というのは非常にレベルの高い問題である。もちろん簡単な問題もあるが、一般の作図問題を考えるときには、大まかに分けて以下の３つの段階に分けて考えなければならず、その意味でもレベルの高いものであることは明白である。

① 条件をみたす図形がかけたと仮定して，その図形を決定する条件を調べて作図の方法を考える．（解析）
② 実際に作図してみる．（作図）
③ できた図形が条件を満たしていることを確認する．（証明）

実際、高校１年生の数学A の「平面図形」では最後の項目として「作図」が取り上げられている。

当室では、このような事実もふまえて、中１で学ぶ作図の根拠が理解できる程度に証明を学習した後で、作図を学習することにしている。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/12 数学Ⅱ

今日は２次方程式の第２回目として、「平方完成による解法」「解の公式」を学習した。
テキストでは p.175～179（新課程版 p.181～185）にあたる。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/7 大学受験数学Ⅱ～学校の数学の指導法について苦言～

今回は数列の和に関して等差・等比数列関連とΣ 記号によるもの他に“和分法”を講義した。

大学受験で出題される数列の和の問題は
①等差・等比数列関連
②Σ 記号によるもの
③和分法
の３つだけである。
①と②は見てすぐ分かるはずだから、見てすぐ①か②と分からないものは全て“和分法”を用いるのだと方針を立てることができる。

このようなことを生徒に教えるのが指導者の役目だと思うのだが、以前も書いた某トップ高校をはじめ、ほとんどの学校ではこのようなことを一切習わないらしい。数学の授業は毎週何時間もあるはずなのに、いったい何を教えているのだろうか・・・

学校というのは本当にボロイ商売だ。重要事項をロクに教えることもせずに、ズブの素人である生徒に黒板に問題をやらせて、それを先生が直すという、先生にとっては楽で楽でしょうがない指導方法をどこの学校でも採用しているが、そもそも、間違いかもしれないクラスメートの解答を見て何の役に立つというのだろうか？ 間違いじゃなかったとしても、他の生徒の手本になる解答なんて、よほど簡単な問題でもない限り高校生に書けるはずがない。大手塾や予備校の模試の採点を一度でもしたことのある人間なら誰でも、まともな解答を書ける生徒なんて全体の１％いるかどうかだと即答するだろう。それでも学校はこの方式をやめようとはしない。（それどころか、この方式を採用しやすいように、業者に学校にしか販売されない解答無しの問題集を作らせて、それを授業で使うということを続けている。もちろん、先生だけにはその問題集の解答が業者から配布されている。）
こんなやり方は即刻止めるべきだと思う。もしこれが本当に正しい方法で、生徒に学力をつけさせられるのなら、どの塾も予備校も採用するはずだが、まともな塾や予備校でそんなところはどこもない。それなのに、なにも改善することなく、毎月何万円ものお金を保護者から徴収しているのだから、学校という組織は反社会的勢力なみの無茶苦茶ぶりだ。自分は（子供は）公立に通っていて無料だから、まぁ～いいか、なんて思わないでいただきたい。その分の費用は税金という形で国民全員が負担させられているのだから。

テキストp.268, 269, 271, 273

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/7 大学受験数学Ⅰ

今日は、“数え上げの基本の利用”の残りから「平面図形の塗り分け」「立体図形の塗り分け」と“２項定理と多項定理”を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

7/6 数学Ⅰ～プレジデントファミリー社の取材 ： 本当にお得な大学附属中学高等学校～

今日は「直角三角形」について、「直角三角形の合同条件」、「直角三角形の合同条件の利用」を講義した。
宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
 

今日はプレジデントファミリー社の取材 を受けた。プレジデントファミリー社の取材を受けるのはこれで２度目になる。以前書いていたブログを目にとめて下さった数社から取材を受けたのだが、その中の１つがプレジデントファミリー社だった。当時は気恥ずかしさもあって、取材を受けたことは公表しなかったのだが、取材内容に興味のある方もいらっしゃると思うので、いずれホームページの方に up したいとは思っている。いつになるかは不明だが・・・
今回の取材内容は「本当にお得な大学附属中学高等学校はどこか？」ということだった。
内容については、いろいろ問題もあると思うので、発売されてから詳しくお伝えすることにしようと思う。

7/5 数学Ⅱ

今日は２次方程式の第１回目として、「因数分解による解法」を総ざらえした。
テキストでは p.170～174（新課程版 p.176～180）にあたる。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

6/23 大学受験数学Ⅱ

今回は等比数列とその和および Σ 記号を扱った。等比数列の和の公式は憶えておいた方が良いが、「いつでも自分で導くこともできるという前提で」である。この公式の導出における考え方は、この公式以外でも使うことがあるからだ。憶えることよりも理解することを重視してもらいたい。
テキストp.258～264, 267

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
また、来週は５週目振替休室なので、これまでの総復習をやっておくこと。休室期間は復習するために与えられていると考えてもらいたい。休室期間、授業は進まないのだから、この期間にしっかり復習すれば多少の遅れや弱点があっても取り戻せる。遅れや弱点がない人は、さらに習ったことを完璧にするように復習してもらいたい。

6/23 大学受験数学Ⅰ

前回に引き続き、“数え上げの基本の利用”から、「同じものを含む順列の応用」「一部順序が定められた順列」「同じものを含む一部のものの順列」「一定の順序の定まった順列」「組分け・分配」を講義した。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
また、来週は５週目振替休室なので、これまでの総復習をやっておくこと。休室期間は復習するために与えられていると考えてもらいたい。休室期間、授業は進まないのだから、この期間にしっかり復習すれば多少の遅れや弱点があっても取り戻せる。遅れや弱点がない人は、さらに習ったことを完璧にするように復習してもらいたい。

6/22 数学Ⅰ

今日は「正三角形」について、「性質の証明」、「正三角形になることの証明」、「正三角形の性質の利用」を講義した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
また、来週は５週目振替休室なので、これまでの総復習をやっておくこと。休室期間は復習するために与えられていると考えてもらいたい。休室期間、授業は進まないのだから、この期間にしっかり復習すれば多少の遅れや弱点があっても取り戻せる。遅れや弱点がない人はさらに習ったことを完璧にするように復習してもらいたい。

6/21 数学Ⅱ

今日は平方根の残り部分「四則の混じった計算」「式の値」「有理数と無理数」「有限小数と無限小数」「平方根を整数にする数」を学習した。
テキストでは p.114、115 とプリント（新課程版 p.118～120、108、109）にあたる。

宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。
また、来週は５週目振替休室なので、これまでの総復習をやっておくこと。休室期間は復習するために与えられていると考えてもらいたい。休室期間、授業は進まないのだから、この期間にしっかり復習すれば多少の遅れや弱点があっても取り戻せる。遅れや弱点がない人はさらに習ったことを完璧にするように復習してもらいたい。

6/16 大学受験数学Ⅱ

今回から「数列」に入った。
数列は「等差・等比数列に関連する問題」「差分・和分」「漸化式の解法」「数学的帰納法」の４分野に大きく分かれ、これらは互いにほぼ独立している。だからそのことをきちんと意識していれば（意識付けされていれば）とても学習しやすい分野である。
ところが、某有名トップ都立高校の生徒に聞くと、「等差・等比数列の憶えなくてもよい公式は憶えさせられている」一方で、「漸化式の解法は憶えずにその場で考えろ」と指導されたという。指導力のなさとはこのようなことを言うのだなぁ～と感じた。

等差・等比数列の公式を憶えなくてもよい理由は、等差・等比数列の出題率が２次試験では高くない上に、考えれば簡単にすぐ導ける公式ばかりだからである。しかも、等差数列の和の公式に頼りすぎると文字がたくさん出てきてかえって処理が難しくなることが多々ある。そんな役に立たない公式を憶える意味などない。どうしても必要ならその場で導けばよいのだ。簡単にすぐ導けるのだから。（そんな場面は訪れないと思う。）
一方、漸化式の解法はそうはいかない。もちろん、いきなり解法を暗記しろと言っているのではない。一度はなぜそのようにして考えるのかを学び理解しておく必要はあるが、それを理解すれば、後は憶えておいて瞬時に使えるようにしておくべきである。例えば、３項間漸化式の問題などは1～2分で解けなければ身についたとは言えない。もしこの高校の先生の言うようにその場で考えていたら、どんなに優秀な生徒でも３項間漸化式の問題は10分近く時間をとられてしまうことになる。試験場で同じ問題（しかも必須典型問題）に8分も差がついたのでは勝負にならない。

今回は等差数列とその和を扱った。もちろん、公式の暗記などはしないように注意した。むしろ、小学生っぽく解くのが分かりやすく明快で本道だと説明し、テキストの公式重視の解法との違いを明示しておいた。テキストp.247～256。

宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

6/16 大学受験数学Ⅰ

今回は前回の続きとして“数え上げの基本”から、「組合せの総数 C の注意点」「組合せの総数 C の等式の証明」「組合せの総数 C の利用」「重複組合せ」を講義した。また、次の項目“数え上げの基本の利用”から、「辞書式配列と順列」を講義した。

これまでやってきた“数え上げの基本”は、これらを知らなければ、数え上げに関する問題ができないと言ってもよいほどの最重要事項であるから、完璧にマスターしてもらいたい。特にこれまでの復習テストで合格点をとれていない人は、この先の問題はほとんど何も正確に数え上げできないと思っておいた方がよい。たまたまできることがあったとしても、そのたまたまが試験場で訪れることはない。
これらの基本を用いて、これから数え上げの練習をしていくのだということを肝に銘じて復習しておいて欲しい。
また、この“数え上げの基本”は中学の時に習っておくべきものについては復習程度にとどめている。だから、これができないということは中学範囲が分かっていないことに原因があるはずなので、あまりにひどい場合には強制的に中学部の「場合の数・確率」の授業に参加してもらうことになる。そのようなことで、無駄な出費をしなくて済むように完璧に復習してもらいたい。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

6/15 数学Ⅰ

今日は前回の「三角形の合同・二等辺三角形」の残りが少しあったので、それを講義してから「１次方程式（１）」を講義した。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

6/14 数学Ⅱ

今日は前回に引き続き、「ひし形であることの証明」「三角形の等積変形の利用」「面積を２等分する問題」を学習した。
テキストでは p.380～383（新課程版 p.382～385）にあたる。

宿題は今日の授業の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

6/9 大学受験数学Ⅱ

今回は空間ベクトルの位置ベクトルを中心に学習した。具体的には「空間内の３点が同一直線上にある条件」「２直線が交わることの証明」「４点が同一平面上にあるための条件」「平面と直線の交点の位置ベクトル」「四面体の体積」。テキストではp.329，341～347。

宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

6/9 大学受験数学Ⅰ

今回は前回の続きとして“数え上げの基本”から「順列の総数 P の等式の証明」「重複順列」「同じものを含む順列」「円順列」「数珠順列」を講義した。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

6/8 数学Ⅰ

今日は「三角形の合同・二等辺三角形」を講義した。
文科省の指導要領に従った教科書はもちろん言うに及ばず、他のどの教科書も、「三角形の合同・二等辺三角形」よりも前に「作図」が配置されている。しかし、当室ではその順序を採用しない。その理由は、「三角形の合同・二等辺三角形」について学ばなければ、様々な作図の仕方の理由が理解できないからである。例えば、角の二等分線の作図は三角形の合同条件の中の“三辺相等”を根拠としているが、それすらも分からないのである。これでは単なるお絵かきにすぎない。私は生徒にお絵かきを教えるつもりはない。作図を教える以上はその根拠も一緒に教えるべきであると考えている。だから、作図はもう少し後の項目として配置している。基本的に学校よりも進度をはやくして学校よりも先に教える方針であるが、作図についてはそのような理由があるので、学校よりも指導が遅くなることをご理解いただきたい。学校では「三角形の合同・二等辺三角形」について学んでいない以上、ほとんどの作図の理由の説明のしようがない。だから、ほとんどの作図の説明はないはずなので、お絵かきだと思って気楽に聞いておいてもらいたい。

「三角形の合同」では“三角形の合同条件の証明”から講義した。三角形の合同条件についてはどの教科書もどの参考書もどの塾のテキストも、まるで神から与えられた啓示のような扱いをしているが、それは明らかな誤りである。これからあらゆる証明を三角形の合同条件を用いてやっていくわけであるのに、その根本となる三角形の合同条件を証明もせずに信じ込むのだとしたら、それは何も証明せずに信じ込んでいるのとほとんど同じではないだろうか？　
せめて「三角形の合同条件は証明すべき命題である」ことと「その証明をしない理由」を明記しておいてもらいたいものである。さらに、「二等辺三角形の底角が等しいことの証明に三辺相等を用いてはならない」ということは絶対に明記しておいてもらいたい（明記してある教科書も参考書も塾のテキストも見たことがない。それどころか、二等辺三角形の底角が等しいことの証明に三辺相等を用いているものすらある）。なぜなら、三辺相等の証明には「二等辺三角形の底角が等しいこと」が必要になるからである。それなのに、三辺相等を用いて二等辺三角形の底角が等しいことを証明したらどういうことになるか？　ここまで書けばお分かりいただけていると思うが、何も証明していないことになってしまうのである。


宿題は授業の復習をしっかりとして次回の復習テストで合格点をとれるようにしておくこと。

6/7 数学Ⅱ

今日は前々回の「平行四辺形の性質」に引き続き、「平行四辺形になるための条件」「平行四辺形であることの証明」「長方形の性質」「ひし形の性質」を学習した。
テキストでは p.376～379（新課程版 p.378～381）にあたる。

宿題は今日の授業の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

6/2 大学受験数学Ⅱ

今回は空間ベクトルについての基本事項を学習した。補足として外積についても少しふれたが、取りあえずは２つのベクトルに垂直なベクトルを求める方法としてだけ説明した。
テキストではp.329，332～339。
宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

6/2 大学受験数学Ⅰ

今回は前回の残りとして「連立２次方程式」「２次方程式の共通解」と新しい単元として“数え上げの基本”から「全数調査～辞書式配列・ベン図・樹形図」「和の法則・積の法則」「条件のある順列」を講義した。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

6/1 数学Ⅰ ～テストの意味～

今日は前回の「文字式の基本（３）」でやり切れなかった部分をまず行い、その後はぬきうちで総復習テストを行った。

案の定、普段の復習テストよりもかなりできが悪く、０点の生徒も何人かいた。
今回のテスト自体はできていてもできていなくても正直なところどうでもよい。自分はおりにふれ復習をしないと以前できた問題ができなくなってしまうのだということを理解して、これからは定期的に自主的に復習に取り込むようにしてもらうための機会を与えたかったのだ。
塾のテストの結果が悪いとすぐに悲観的になったり、ついていけないかもと心配する生徒や保護者が多いが、そんなことには何の意味もない。そもそもテストというものを間違ってとらえている。テストというのは自分の弱点を発見するために行っているのである。だから、テストの結果が悪ければできなかった部分や自分の勉強に対する姿勢を直そうとするのが筋である。それもせずに、悲観的になったり、ついていけないかもと心配するのはナンセンスである。

今日の総復習テストで合格点を取れなかった人は月曜日の再テストで必ず合格できるように復習してもらいたい。そして、これからは定期的に自主的に総復習に取り組むようにしてもらいたい。

5/31 数学Ⅱ

今日は前回の「平方根の乗除」に引き続き、平方根の計算に必要な事項を学習した。
テキストでは p.108～113（新課程版 p.112～117）にあたる。

宿題は今日の授業の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

5/26 大学受験数学Ⅰ 「勉強なんて社会に出たら関係ない」というのは本当か？

今回は前回に引き続き“２次方程式”から「２次方程式が実数解をもつための条件」「２次方程式の解と係数の関係とその利用」「２次方程式の解の公式を用いた２次式の因数分解」「完全平方式」を講義した。

「２次方程式が実数解をもつための条件」を扱う問題では問題文の表現に十分に注意しなければならない。“異なる２つの実数解”と“異なる実数解”では扱いが違うということである。これは受験レベルでは常識なのであるが、知らない人も多い。その原因は簡単で、教科書はもちろんのことほとんどの参考書に明記されていないからだ。
日常生活では“異なる”と言えば２つ以上のものに対して言うのが当たり前だし、実数解が高々２個しかない２次方程式に対してこの言葉を使えば、それは“異なる２つ”を表していると考えるのが当然と考えがちだが、正しくはそうではない。数学で“異なる実数解”という場合、それは重解も含むと考えるのである。
是非とも忘れないでもらいたい。

２次方程式の解と係数の関係については、10年位前までは中学３年生の内容であったが、現在の文科省の指導要領では高校２年生の内容となっている。本当に文科省というのは一体何のために存在しているのだろうか？
ご存じない方も多いと思うが、日本の「ゆとり教育政策」は40年近く前から計画されて少しずつ準備され、20年近く前に本格的に実行された。それがどうしようもないレベルにまでなり、社会問題にまでなったのが10年位前の指導要領だった。「円周率が３」「小学生は台形の面積の公式を習わない」といったものが報道されたが、この「２次方程式の解と係数の関係」が高２内容にされたのもその時期だったと思う。
日本が「ゆとり教育」に舵をきったのに対して、韓国は逆に「詰め込み教育」を認めた。40年たった現在、国連のトップも世界銀行のトップも日本人ではなく韓国人である。
勉強なんて社会に出たら関係ないという大人は多いが、果たして本当にそうなのだろうか？
「社会に出たら勉強だけでは駄目だが、（特別な才能でもない限り）最低限、勉強はできないといけない」というのが正しいと思うのだが・・・

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくることと、「体系数学２代数編～場合の数～」を学習しておくこと。

5/26 大学受験数学Ⅱ

今回は前回の「ベクトルの終点の軌跡」の続きとして「ベクトルの終点の存在範囲」を学んだあと、「法線ベクトル」「２直線のなす角度」「円のベクトル方程式」を学んだ。テキストではp.325～328。
宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/25 数学Ⅰ～文科省の定める指導要領・教科書について～

今日は「文字式の基本（３）」を学習した。
前々回学習した「文字式の基本（２）」の続きにあたる。
単項式どうしの乗除から始め、単項式と多項式の乗除（除法は単項式で割る場合のみ）、分数式の乗除、多項式どうしの乗法を学習した。
多項式の乗法については、まだ中学１年生の５月なので、乗法公式を憶えさせることよりも、多項式の乗法は分配法則の繰り返しで必ず求めることができるということを学ぶことの方が重要だと考え、乗法公式にはふれなかった。その代わり、より本質的な考え方として、いくつの多項式の積であっても、各多項式から１つずつ項を取り出してかけて全部たすという操作で求められることにふれた。これは高校数学Ⅰ・Ａで学ぶことになっている二項定理 (x+y)^n （x+y の n 乗）の考え方の基礎になる考え方である。
高校数学Ⅰ・Ａと言うと、それだけで無理だと考えたり、まだやらなくていいと考える生徒や保護者が多いが、その考え方は誤りである。以前http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/05/512.htmlも書いたが、学ぶ学年はあくまで文科省が決めたものであって、何の根拠もない。自分で考えに考えぬいてそれでも理解できないものだけが、まだやらなくていいものだと考えるべきである。文科省の定める指導要領・教科書は学習の最低ラインであることを忘れてはならない。最低ラインに合わせて学習しておいて、上位の学校への合格を希望するというのは明らかにおかしな話である。すべてを先取りすることが正しいとは思わないが、本質的な考え方についてはできるだけ早く慣れ親しんでおくことが大切だと思う。


宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、月曜日の計算練習の時間までにできるようにしておくこと。また、前回の復習テストの直しをして、不合格者は月曜日の再テストで合格できるように勉強しておくこと。次回の復習テストでは必ず合格できるように復習しておくこと。

5/24 数学Ⅱ

今日は「平行四辺形の定義と性質」「平行四辺形の性質を利用した証明」「平方根の乗除」を学習した。
テキストでは p.372～375、107（新課程版p.374～377、111）にあたる。

宿題は今日の授業の復習と、前回の復習テストで100点でない人は間違った問題の証明を清書して月曜日に提出すること。復習テストを受けなかった人は２問とも清書して提出すること。
ただし、ただ漫然と証明を書き写すのではなく、書きながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようになることが目的であることを意識して行うこと。

5/19 大学受験数学Ⅱ

今回はベクトルを用いて三角形の性質を証明した後、「直線のベクトル方程式」、「ベクトルの終点の軌跡」を学んだ。テキストではp.318～324。
三角形については、具体的には「角の二等分線の長さ」、「頂点から対辺に下した垂線の足の位置」、「中線定理」、「三角形の重心、外心、垂心の位置関係」で、初等幾何では結構面倒な証明もベクトルを用いればシンプルに行えることが多く、ベクトルの威力を分かってもらえたと思う。


宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/19 大学受験数学Ⅰ

今回は「２重根号のはずし方」と新しい項目として“２次方程式”から「未知定数を含む２次方程式」「２次方程式の判別式と解の個数」を講義した。
２重根号のはずし方は全中３生にとって必須事項だと私は思うのだが、文科省の指導要領はそうなっていない。私が２重根号のはずし方を全中３生にとって必須事項だと考える理由はこうである。
平方根を習った以上、平方根が答えになる問題が出題されるのは当然である。その際、出題者が想定している解き方をすれば２重根号など現れないにもかかわらず、それとは違う解き方をしたために最終的な答は同じになるのだが、途中で２重根号が現われてしまうということはありうる。文科省が２重根号は高校課程だと（意味不明な）主張をしようとも、問題を解く側（中学生）の解き方まで制限することはできない。正しい考え方で解いている中学生に対して、途中に２重根号が出てくるという理由だけで、その子にこの解き方はダメだとウソを教えるのが指導だとは私には思えない。そのような解き方をしても最終的な答を導くことのできる方法、すなわち２重根号のはずし方を教えておくのが指導というものだと思う。

再来週あたりの授業から、「場合の数」を扱う予定なのだが、このクラスの在籍生徒が公立中３、国立中３、私立大学附属中３、中高一貫私立高１（中入生・高入生両方）、中高一貫公立高１、国立高１、公立高１と様々過ぎて、「場合の数」の予備知識が統一されていないことが予想されるので、あらかじめここまでの予備知識は前提とするというものを提示しておいた。具体的には、昨年度当室中２が学習した内容「体系数学２代数編～場合の数～」を前提とすることにした。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくることと、「体系数学２代数編～場合の数～」を学習しておくこと。

5/18 数学Ⅰ

今日は「対称な図形」を学習した。
移動の定義から始め、合同、線対称、点対称を学習した。
数学で「移動」と言うとき、それは日常用語の「移動」とは違うということに注意しなければならない。数学の「移動」は任意の２点間の距離を変えないということが決まっているからである。この単元は定義や説明は細々としているのだが、問題は非常に簡単なので皆スラスラ問題をこなしていた。問題をする上で注意すべきことは、合同な図形の対応する点の順序通りに答えることくらいだろう。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の復習テストで満点をとれるように勉強してくること。

5/17 数学Ⅱ

今回は平方根について、定義と大小関係などを学習した。
テキストではp.102～105（104～107）にあたる．

宿題は今日の授業の復習と、今日の復習テストができたかできなかったか位は自分で分かっているはずだから、できなかった人はもう一度先週の授業で扱った証明を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようにしてくること。

5/12 大学受験数学Ⅱ

今回は「ベクトルの本質」にあたる部分を学習した。テキストでは「ベクトルの応用」となっているが、数学を知らない人が編集したのかと思ってしまった。この単元は応用でもなんでもなく、これこそがベクトルの本質であって、本来は内積や角度といった計量にあたる部分をやる前に学習すべき内容である。。
具体的には「位置ベクトル」、「分点の公式」、「分点の公式の利用」で、テキストではp.312～317。

宿題は授業内容の復習を次回の復習テストで満点が取れるようにやっておくこと。

5/12 大学受験数学Ⅰ 中３（高校受験組）にどこまで高校数学を教えるのが妥当か

今回は「有理数と無理数」を講義した。
有理数と無理数の定義から始め、無理数の１次独立性やルート記号を外すときの注意点（ルートの中が変数の場合）などを扱った。

以前、昨年度までの「ハイレベル数学」と「高校数学Ⅰ」を合併して今年度から「大学受験数学Ⅰ」としたことを書いた。
「ハイレベル数学」は中学生向けの最上位クラスとして設置していたが、
①「ハイレベル数学」の秋までの授業内容の大部分は現行中学課程外の内容であり、高校数学Ⅰ・Ａの内容とかぶっていた（それだけのことが難関高校受験では要求される）
②今年度から施行される高校数学Ⅰ・Ａ新課程で復活した「整数」と「空間図形」という項目は、元々学年の区別が付け辛く、文科省が課程から削除しても高校入試でも大学入試でも、学校によって出題されたりされなかったりしてきた内容である（例えば、50？年位前に東大の一次試験で出題された正四角錐の切断の問題は、難関高校入試の典型問題であるのに、大学入試ではほとんど出題されなくなったため高校の参考書には取り上げられてこなかった。）
ことにより、さらに両者の内容がかぶるようになること、さらに、
③高校受験を終えた後のこと（大学受験の準備）を考えた場合、余力のある（これは絶対条件である。多くの中高一貫校はここで誤りを犯している。）中学生は高校数学Ⅰ・Ａまで学習しておくことで、高校に入ってから無駄な苦労をせずに済むこと
以上の理由により、合併することにしたわけだが、生徒というのは本当に浅はかなのだと痛感させられた。

講座名に“大学受験”と入っただけで、ハイレベル数学当時とほとんど同じ内容を講義しているにも関わらず、中３生が復習してこなくなったのである。もちろん、このようなことはハイレベル数学としていた時にはなかったことである。確かに、高１生もいるわけだから、高校受験に出題される可能性がかなり低い（ただし、絶対ないとは言い切れない。理由は後述。）ものも多少は扱わなければならない。しかし、そもそも彼らは中学範囲外からどの程度高校入試に出題されているかということも認識していないのだから、与えられたものは一通り学習するのが正しい姿勢ではなかろうか？ まさか、中学範囲だけで難関高校の入試問題が構成されていると信じているわけではあるまい。
中学範囲外の出題をする代表格として、国際基督教大学附属高校があげられるが、数年前に数学Ｃ（高校３年の選択科目、したがって現在は東大や京大であっても文系では出題されない）範囲から２次曲線を出題したことがあるし、ほとんど毎年のように中学の教科書には載っていないことを出題している。しかも、単なる２次曲線ではなく、円錐曲線としての２次曲線を扱っていたが、これは理系でも難関校を受験する人しか勉強しない内容である。まあ、国際基督教大学附属は少々特別かもしれないが、ガウス記号（高１後半の範囲）を出題したことのある難関高校は沢山あるし、対数（高２範囲）を約束記号として出題したことのある難関高校もあるし、中学範囲外を出題する高校などあげればキリがない。
これらの事実から、中学範囲外であっても、問題文中に十分な説明や約束記号などがあれば、高校入試に出題してもお咎め無しということが読み取れる。
では、受験する側はどこまで学習しておくのが妥当だろうか？ もちろん、高校範囲全てを学習することなどできるはずはないのだから、最低限として旧中学課程の内容は学習しておき、高校１年の範囲でも「三角比」以外は余裕があれば学習しておくのが望ましいであろう。そして、中学範囲外の出題では、「初めて知る数学の内容をその場で理解して答えられる能力が試されている」という事実を十分理解して、普段の授業でも、それが中学課程であろうとなかろうと、初めて聞く内容をその場で理解して問題を解く訓練をしておかなければ、試験場で困惑させられることになるということを肝に銘じておかなければならない。
そのことをきちんと理解して授業を受けていた生徒たち（卒業生）は本番の試験でも中学範囲外の初めて知る内容にも十分対応できてきた。特に、数学の試験が非常に独特で対策しづらいと言われている前述の国際基督教大学附属高校に関して言うと、７人受験して６人が合格しているのである。この他塾ではありえない合格率の高さの秘密は何なのかを少しは考えて欲しいと思う。

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

5/11 数学Ⅰ

今日は「文字式の基本（２）」を学習した。
前々回学習した「文字式の基本」の続きにあたる。
単項式・多項式の定義から始め、多項式の加法・減法までを学習した。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、月曜日の計算練習の時間までにできるようにしておくこと。また、前回の復習テストの直しをして、不合格者は月曜日の再テストで合格できるように勉強しておくこと。また、次回の復習テストでは必ず合格できるように復習しておくこと。

5/10 数学Ⅱ

今日は、数週間ぶりに初等幾何の証明に戻った。
学習した内容は「直角三角形の合同条件」「直角三角形の合同条件の利用」「三角形の内心」で、テキストでは p.367～371（新課程版p.369～373）にあたる。

宿題は今日の授業の復習なのだが、前回も注意したように、授業で扱った証明を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようにしてくること。
復習したつもりで何もできるようになっていないのでは、全く意味がないということを、いい加減、肝に銘じてもらいたい。

4/28 大学受験数学Ⅰ

前回は、受験数学での最重要事項の一つ（にもかかわらず学校では取り上げられることはほとんど皆無である）「同値変形」について、なぜ最重要事項なのかを「数学の入試問題とは何なのか？」を明らかにすることで説明したが、今回は引き続き、同値変形の練習を「１次不等式」を題材にして行った。
「１次不等式」を掲載しているどの参考書や問題集も（様々な予備校や塾の教材も含む）、「１次不等式の解法の学習」のために「１次不等式」を掲載しているとしか考えられない記述であるが、私はそれだけでは意味がないと考えている。
つまり、「１次不等式」は同値変形の良い練習問題なのだから、意識的に同値変形を解法に用いるのが大切であると考えているのだ。

当室の指導方針の大原則として、「必須手法の学習は簡単な問題から」というのがある。
英語の文型や品詞の解明にしても、難しい文章になって必要に迫られてから学習しようとするから世の多くの中・高生は失敗したり、中々身につかなかったりするのである。中学１年の誰でも分かる簡単な文章（のために、多くの人は文型や品詞の解明の必要などないと思ってしまうのだが・・・）のときから、文型や品詞の解明を習慣にしていけば、難しい文章を学習するようになる頃には、無意識にそれができるようになっているのである。
同値変形も同じことである。いずれは数学の様々な問題で効力を発揮する同値変形であるが、今すぐにそのような問題に同値変形を使えるようになるわけではない。簡単な問題での練習を行って使い方をマスターしなければならないのだ。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

4/28 大学受験数学Ⅱ

前々回から「ベクトル」を学習しているが、高校の数学でのベクトルの定義は定義になっていないということは前にも書いた。だから、正しいことを書いた上で、高校の教科書の嘘にもうまく付き合っていけるような教材を書きたいところであるが、高校数学の「ベクトル」全項目の内容を書ききる時間はさすがにないので、高校数学のベクトルの定義のどこがおかしいかの説明と正しい定義、そして高校数学で扱う「平面ベクトル」「空間ベクトル」「数ベクトル」に関する注意点をまとめたプリントを配布した。
また、前回証明を後回しにした内積の成分計算と内積の分配法則の証明を行った。

宿題は授業内容の復習と計算問題集のテーマ１～１０。
次回復習テストは３，４月の学習内容で行う。

4/27 数学Ⅰ

今日は「多角形の内角・外角・対角線」を学習した。
小学生の時から当り前のように使っている三角形に関する定理「三角形のの内角の和は180°である」をはじめとする、多角形の内角・外角・対角線に関する基本的な性質を証明した上で、その性質を使った問題演習をした。
ほぼすべての内容が中学入試をする小学生ならば学習済みの内容である。違うのは「説明」から「証明」に変わったということである。

文科省の定める学習指導要領では「証明」は中学２年生の学習内容（２学期位）ということになっているが、私はそれが正しいとは考えていない。学習時期が中学３年間の真ん中くらいになってしまうせいで、基本的な証明に習熟する時間を割くことができず（どんなに時間をとれたとしても１年が限界である）に入試問題演習を始めなければならなくなってしまうからである。
そこで、当室では基本的な証明を中学１年生から始めることによって、基本的な証明に習熟する時間を十分に取れるようにしている。これなら基本的な証明に２年以上費やすこともできる。

数学に限らず何でもそうであるが、苦手であればあるほど、基本的な内容に接する時間をできる限り増やすことが、苦手克服の鍵である。


宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の復習テストで満点をとれるように勉強してくること。また、前回の復習テストの不合格者は連休明けの月曜までに再テストの勉強をしておくこと。さらに、 連休明けの月曜には「正負の計算」の総復習テストを行うので、
中学数学計算問題集http://eisuken2012.blogspot.jp/2012/01/blog-post_24.html の「正負の計算」の範囲をしっかり復習して満点をとれるように何度も繰り返して練習しておくこと。

4/26 数学Ⅱ

今日は、前回の因数分解の復習テストをやった後、先週にひき続き、「図形に関する証明」を学習した。テキストでは p.97（新課程版p.99）にあたる。

前々回、幾何の証明の基礎の復習テストで合格者が０人だったため、幾何の授業は進まずに、前回はこれまでの幾何の証明の復習テストのみを行ったのだが、それでも合格者はたったの１人であった。これでは今回も授業を進めることができない。
まぁ～、毎年同じような感じなので驚きはしないが、このような生徒達を四苦八苦しながら指導して「合格実績 http://www.eisuken2002.jp/実績/ 」を出しているのに、多くの人達は最初っからできる生徒が集まっているだけだと思っているようで、そのような質問が多いのには閉口する。
ブランド好きで、「寄らば大樹の陰」が大好きな日本人が、こんな無名で小さな塾に、しかも最初からできる生徒ばかりが集まるはずなどないのは明らかだと思うのだが・・・

多くの生徒（保護者）は勉強というものを勘違いしている。
思考力という綺麗ごとの名のもとに、憶えなければならないことを憶えずに考えようとする（させる）人があまりにも多い。憶えることを憶えずに（意味のあることを）考えることができるなんて、生まれつきの天才だけである。そんな天才、過去の日本に何人いたというのだろうか・・・
少なくとも、自分がそうであると思う人はいないだろうし、もし思うのであれば、それこそ塾に来る必要などないはずである。
憶えることはしたくない（させたくない）けれど考えたい（考えさせたい）というのなら、勉強などせずに（させずに）パズルでもやっていれば（やらせていれば）いい。勉強がしたい（させたい）のなら、憶えなければならないことは憶えなくてはならない。
というわけで、授業の残り時間は復習テストの範囲だった幾何の証明の一部を清書させた。
今はまだ、自分だけで一から証明を考える段階にはない（ことは結果を見れば明らかである）。すでに書かれた証明（解答）を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせるだけで十分である。


宿題は今日の授業の復習と、これまでに授業で扱った幾何の証明を書き写しながら、その書き方の形式を憶え、証明の中身について考えをめぐらせ、その証明を何も見ずにすべて再現できるようにしてくること。

4/21 大学受験数学Ⅰ

今日は「論理・必要条件と十分条件・同値変形」の第２回目として、背理法での証明が認められる理由と、受験数学での最重要事項の一つ（にもかかわらず学校では詳しく取り上げられることは皆無である）「同値変形」について、なぜ最重要事項なのかを「数学の入試問題とは何なのか？」を明らかにすることで説明した。


宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

4/21 大学受験数学Ⅱ

今日は、「ベクトルの内積」を中心に学習した。
テキストでは p.304～310にあたる。
時間の関係上、ベクトルの内積の成分計算や内積の分配法則の証明のみ次回にまわして、今日はいくつかの定義と問題演習のみとした。

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

4/20 数学Ⅰ

今日は前回に引き続き「文字式の基本」を学習した。
前回の復習として指数表記の注意をした。
前回も注意したが、(2^3)^4 と 2^3^4 は意味が違うということをもう一度注意しておいた。
（ここで、x^y はxのy乗を表す）
テキストの問題が 2^3^4 ではなく 2^2^2 だった訳を 2^3^4 = 2^81 が計算不能だからということを具体例を挙げて説明しておいた。指数関数が爆発的に増加する関数であるということを、かなり具体的なイメージとして持ってもらえたと思う。

今日のテーマは「数量を文字式で表す」ことであったが、この分野は小学校の単位の変換ができないと全くできないので、あやふやな人は一日も早く小学校の教科書を引っぱり出して単位の項目を復習してもらいたい。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の復習テスト（金曜日）で満点をとれるように勉強してくること。また、前回の復習テストの不合格者は月曜までに再テストの勉強をしておくこと。

4/19 数学Ⅱ

今日は、先週の続き、「共通因数と因数分解」、「式の置き換えを利用する因数分解」、「計算の工夫」、「数の性質の証明」を学習した。
テキストでは p.93～96（新課程版p.95～98）にあたる。

宿題は今日の授業の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

4/14 大学受験数学Ⅰ～間違った数学～

今日は「論理・必要条件と十分条件・同値変形」の第１回目として、命題論理の基本的な証明を講義した。
高校数学Ⅰ・Ａを学習したことのある人なら全員、命題「Ｐ⇒Ｑ」を直接証明しづらい時には、その対偶「Ｑでない⇒Ｐでない」を証明すればよいことを知っているはずである。
しかし、なぜそれでいいのかを知っている人はほとんどいないと思う。
また、ド・モルガンの法則が成り立つことを知っている人も、その証明をしたことのある人はほとんどいないと思う。
これらは数学の証明をしていく上で基本となる定理であるにもかかわらずである。
当室の高校数学ではこれらを命題論理の範囲で必ず証明することにしている。
証明自体はとても簡単なので、生徒の負担になることもないし、自分たちがこれから数々の証明を行っていく上で、よって立つべき証明方法が正しいことすら分からないという気持ち悪さから解放されることになるからである。
まぁ、私がこんなことを言わなければ誰も気持ち悪いとは思わないのだろうけれど・・・

長年、生徒達を見ていて感じることに、「しかし、よく何も疑わずに（教科書や参考書に）書いてあることを信じ込むよなぁ～」ということがある。数学の教科書や参考書は嘘だらけなのだが・・・（答えが間違っているという意味ではない）
私が同年代の頃は、これらの嘘に悩まされ続ける毎日であった。学校の先生たちもその嘘に気付いている人は皆無だったので、質問することもできなかった。まぁ、学校の先生は数学の専門教育を受けているわけではないので仕方ないと言えば言えなくもないのだが・・・（そんな人にしか数学を習えないというのは不幸なことだと思う。）
私にも、それらの嘘を指摘したり説明してくれる指導者がいれば、もう少し受験勉強に専念できたのだが、本当のことが書かれているものを見つけることもできず、ただ一人で証明を考え悩み続けた日々で、受験勉強をする時間はほとんどなかった。

例えば、中点連結定理。この定理を三角形の相似の性質を使って証明している教科書や参考書をよく見かけるが、これは間違いである。なぜ間違いなのかは、三角形の相似の性質「対応する角は等しく、対応する辺の比は等しい」を証明すれば分かるはずである。教科書や参考書では相似の絵を描いておいて、「ほら、相似だと対応する角は等しいし、辺の比も等しいよね～」ってな感じで、さも当り前の性質のように書かれてあり、証明は書かれていないが、いくら当り前そうに見えたとしても、それは見えているだけであって、本当は証明しなければ信じてはいけないのだ。数学では公理と定義以外は全て証明しないといけないのだから。そして、その証明を試みると、その証明には「中点連結定理（を拡張した定理）」が必要になることに気付かされるはずだ。つまり、中点連結定理を相似の性質で証明するということは、中点連結定理を中点連結定理で証明していることになってしまい、循環論法に陥るのである。ただ、私がこれまで接した人でこの事実に気付いている人はほとんどいなかった。早稲田の学生は言うに及ばず、東大理Ⅲをはじめとする東大生も全員、「中点連結定理は三角形の相似より明らか」と信じ込んでいた。（ということは、彼らを指導した人達もまた気付いていなかったということになる・・・　こういうのを受験勉強の弊害というのではないだろうか？）

数学を専門的に学習する時の心得として、数学書を読むときには「ページ番号以外は嘘が書かれていると心得て読みなさい」というのがある。自分が書くテキストには嘘がなく、自分が受験期に費やした（受験勉強に専念するためには）無駄な時間を、自分の生徒には費やさせないようにしなければならないと思う。

次回は、背理法での証明が認められる理由（20世紀初頭には背理法での証明を認めないという考え方ー直観主義ーも存在した）と、受験数学での最重要事項の一つ（にもかかわらず学校では詳しく取り上げられることは皆無である）「同値変形」について、なぜ最重要事項なのかを「数学の入試問題とは何なのか？」を明らかにすることで説明しようと思う。

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

4/14 大学受験数学Ⅱ

今日は、「２次数ベクトル」「単位ベクトル」「２次数ベクトルの最小値」などを学習した。
テキストでは p.294～303にあたる。
高校数学で普通に学ぶベクトルは、定義や名前なども、大学で学習するベクトルとは似て非なるもので、無茶苦茶な内容のため、教えようとすると頭がクラクラしてくる。
数ベクトルのことをベクトルの成分表示といきなり書いていて（成分の定義は書かれていない）、じゃぁベクトルは何なのよ？というと、向きと大きさを持った量などと定義にもならないことを平気で書いている。
教科書を書いているのは大学の先生方であるから、こんなのは嘘八百であることは百も承知なのだが、皆に分かりやすく教科書検定に通るように書くとこうなってしまうのだろうか？
 しかし、まじめに勉強して理解力の高い生徒たちにとってはいい迷惑である。せっかく努力しているのに嘘を教えられるのではたまったものではない。
というわけで、本当のことを書いたうえで、教科書の嘘にもうまく付き合っていけるような教材を書きたいところなのであるが、今は時間の余裕が全くない・・・
授業中に板書と口頭で本当のことを説明するしかない。

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

4/13 数学Ⅰ

今日は前回の「平行線と角」の残りと「文字式の基本」を学習した。
前回の復習も兼ねて、証明法についてお話しをした。
文科省が定める現在の中学数学における証明は「三段論法」を用いるものだけであるが、それでは証明できないものが沢山あること。それらは高校数学にまわされてしまったことなどについて話した。
その代表例が“背理法”という証明法であるが、２０年前の中学生が普通に習ったことを今の中学生には教えないという理由はいったい何なのであろうか？
文科省の言いなりになっていたら、どんどん学力を落とされてしまうというのが現実なのである。
「文字式の基本」では文字式を書く上での約束事を学習して、実際に書く練習をした。さらに指数法則について学習した。
宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の復習テスト（金曜日）で満点をとれるように勉強してくること。

4/12 数学Ⅱ

先週の復習テスト（テスト内容は先々週の授業で扱った問題と全く同じもの）が全員不合格だったため、これ以上幾何分野の授業を進めてゆくことはできないと判断して、授業時間全てを代数分野にした。もちろん、先週の復習テストもやらなかった（先々週の復習テストがあのできでは先週の復習テストをやるだけ時間の無駄と判断した）。

今日の授業内容は、先々週の続きの「乗法公式」と「因数分解の公式」。
テキストでは p.87～92（新課程版p.89～94）にあたる。
今回は単なる計算問題（しかも公式）しかやらなかったので、復習するのにそれほど時間は必要ないと思う。
そこで、先々週から先週にやった内容をきっちりと復習してもらいたい。
扱った問題は、教科書に載っている内容と県立高校の共通問題だけである。県立高校の共通問題というのは、その県の公立高校受験者全てに共通の問題であり、普通高校受験者だけでなく工業高校や商業高校受験者も同じ問題であるため、せいぜい教科書の章末問題レベルの問題である。教科書というのは文部科学省がその学年の生徒として最低限必要な学力を規定したものだということを認識しなければならない。そのような問題をきちんと復習せずにできない人が、難関高校や難関大学を口にするのは恥ずかしいことだ！　

宿題は今日の授業の復習と先々週、先週の授業内容の復習で、次回復習テストで必ず合格点をとれるように復習してくること。

4/7大学受験数学Ⅱ

今日は、「３次方程式の異なる実数解の個数」「不等式の証明への微分法の利用」
「３次関数のグラフに引ける接線の本数」を学習した。
テキストでは p.220～224にあたる。
「３次方程式の異なる実数解」については、２次方程式のとき２次関数のグラフをかけば明らかになったのと同じく、３次関数のグラフをかけば全て明らかになる。面倒くさがらずにグラフをかくことが最短距離である。
「３次関数のグラフに引ける接線の本数」については、前回の３次関数の四等分則と同様に３次関数の有名事実であるので、全ての場合について紹介しておいたが、これも今の参考書や問題集にはほとんど載っていないようである。３次関数の有名事実について深く言及しているのは２０年ほど前に出版された山本矩一郎先生の「放物線の基礎解析（３次関数のグラフ）」が代表的であるが、もはや絶版である。今は数学の参考書・問題集は昔と比べられないくらい豊富にあるのに、他書に替え難い中身のあるものはほとんどない。それを表してか、山本先生の「放物線の基礎解析（３次関数のグラフ）」などはYahoo!オークションやAmazonで15,000円以上で売買されている。今、数学の参考書・問題集を著されている方々は少なからず山本先生の影響は受けているだろうに、もっとまともなものを書いていただきたいものである。

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

4/7 大学受験数学Ⅰ

今日は「因数定理の因数分解への応用」を講義した。
因数定理は因数分解を行う上で非常に強力な定理であるが、当然ながら万能ではなく弱点もある。その弱点を理解してもらうために、中学生にもなじみのある素因数分解を例にして説明の導入とした。素因数分解は中学入試をする生徒なら小学生の時に扱う内容でもあるので、とても簡単なものというイメージが強いと思うが、実は大きい桁の数の素因数分解は非常に難しいのだ。素因数分解は実は難しいというイメージがない人は1111111の素因数分解を考えてみていただきたい。（もちろん、2以上の自然数の素因数分解の存在と一意性は証明されているので、原理的にはできるはずなのだが、実際にできるかどうかは別の話である。）多分できないと思う。つまり、我々が日頃見かける素因数分解の問題は“絶対にできる簡単な問題”だけで、それは出題者が意図的にそうしているからなのである。でないと出題者にも答が分からないというようなことが起こってしまうのだ。
多項式の因数分解も同じことで、大きい次数の多項式の因数分解は因数定理が使えるものと複２次式以外はほとんど出題されない。なぜなら難しすぎてできる人がいないから。因数定理が使えないもので出題される可能性があるのは４次の多項式が２次と２次に因数分解されるものだけである。このようなことを知っておけば、因数分解の問題を見たときの方針が立ちやすい。つまり、２次式の場合は中学で習う因数分解の公式で、３次式の場合は３次の因数分解の公式または因数定理で、４次式は複２次式なら複２次式の解法で、でなければ因数定理で、因数定理も使えないなら（２次式）×（２次式）という式を立てて係数を比較して解けばよいのである。

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

4/6 数学Ⅰ

今日は前回の「平面の基本図形」のつづき、「正の数・負の数の四則の混じった計算」、「平行線と角」を学習した。
「平行線と角」では、“平行線の公理”を無条件で認めた上で、今後の証明を行っていくという立場を明確にして、簡単な証明（「対頂角は等しい」、「平行線における同側内角の和は180°である」）を学習した。さらに、平行線の同位角、錯角、同側内角を用いて角度を求める問題を練習した。


宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の計算の時間（月曜日）に一々今日のノートを見直さなくてもできる状態にしてくること、そして次回の復習テスト（金曜日）で満点をとれるように勉強してくること。

4/5 数学Ⅱ

今日は、「二等辺三角形の定義・性質」「二等辺三角形の性質を利用した証明」「正三角形の定義・性質」等を学習した。
テキストでは p.362～366（新課程版p.364～368）にあたる。
授業では、テキストには書かれていない二等辺三角形の性質の証明もしたが、いずれも教科書に載っている内容なので、必ず自分一人でできるように復習しておくこと。


宿題は今日の授業の復習。

3/31 大学受験数学Ⅰ

今日は「多項式の除法」「因数定理と剰余定理」を講義した。
現在のゆとり教育課程になってからは数学Ⅱの範囲とされている因数定理と剰余定理だが、十数年前までは数学Ⅰ範囲であった。十数年前まで高１生（中高一貫私立なら中３生）にできていたことが、文科省の決めた指導要領によって今の高１生にできなくなるというのは論理的に考えてありえないことだし、できれば早くから使いこなせるようになれると便利な定理でもあるので、新高１生中心のクラスだが講義することにした。

ちなみに私がこの定理を知ったのは、小学５年生の時だったと思う。こんな便利な定理があるのか！と感心したのを覚えている。当時、高次多項式の因数分解にてこずっていた私に、知り合いの大学生が「こんなの教えちゃっていいのかなぁ～」と言いながら教えてくれたのだが、その後は因数分解する時の武器としてとても重宝した。その大学生は国立大学の学生ではあったが、地方の知名度の低い大学であったので、当時はお世辞にも学力が高いとは言えなかったが、今となっては、因数定理を他人に説明できる大学生がどれほどいるのか疑問である程に大学生の学力は地に落ちているから、その大学生は立派なものだったのだと思う。
それどころか、東大受験専門を謳う某有名塾の数年前までのテキストは因数定理を間違っていたことで有名である。この塾は日本の大学受験の最高峰東大の合格者を中心に構成されているというのに、こんな基本定理を間違えるというのは信じられないことなのだが、現実は現実である。受験テクニックはあっても学力はないということなのだろうか・・・さらに信じられないことに、後に東大に合格する多くの生徒がその間違いに気付かずにテキストの間違いが直されていなかったということである。東大の先生が言うことは全部正しいに違いないと信じ込んでしまったのだろうか？　その程度にしか数学を理解していなくても受験テクニックを知っていることで合格できてしまうのが東大の入試問題ということなのだろうか？　だとするならば、日本が生んだ大数学者の１人佐藤幹夫先生がおっしゃられた様に「東大をはじめとする大学の数学の入試問題はひどいテストだ」というのが正しい意見ということになってしまうだろう。

当室の生徒には、まず定義と定理を正しく理解し、その上で憶えてもらいたい。
宿題は、今日の授業の復習と次回復習テストで合格点をとれるようにしてくること。

3/31 大学受験数学Ⅱ

今日は「３次関数の最大・最少」を学習した。
テキストでいうとp.214～219を学習した。
文字を含む区間における最大・最小や文字係数を含む場合の最大・最少は２次関数の時とほとんど同じ考え方で、グラフをかけばすべてが解決する。
２次関数と違って、グラフをかくには最初は増減表が必要であるが、３次関数の形は４通りしかないので嫌でも覚えてしまう。ただ、最大・最少を吟味するには既に知られた３次関数の有名事実は憶えておいて使った方がかなり見通しがよくなる。
ということで、多くの参考書には載っていないようなのだが、「３次関数の四等分則」とその使い方を説明しておいた。これはかなり使える性質なので必ず憶えておいて欲しい。実際、これを知っているのと知らないのとでは大きな差が出る問題が過去の東大入試でも出題されている。（東大は思考力を問うとか何とかきれいごとを言っているわりには、この問題のように知っているか知らないかで大きく差のつく問題も平気で出題するのだ。）

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

3/29 数学Ⅱ

今日は、「三角形の合同条件」「三角形の合同条件を利用した証明」「多項式の乗除」「乗法公式」を学習した。
テキストでは p.353～357, 84～86（新課程版p.355～359, 86～88）にあたる。
証明問題では証明の解説だけでなく、なぜそのように考えるのかということに力点を置いて説明した。
現段階の証明には“ひらめき”などというものは一切必要なく、証明の仕方は全て必然的に決まるということを特に強調して解説した。このような解説は参考書や問題集の解答には書かれていないものだが、アプローチとして非常に重要だと思う。今後証明問題に取り組む際に思い出してもらいたい。
証明問題ばかりだと疲れてしまう生徒もいると考えて、授業の後半は代数部分を扱った。数学が全般的に苦手な人は、計算だけでも早い段階で克服できるように意識して取り組んでもらいたい。

宿題は今日の授業の復習と練習69。
 

3/17 大学受験数学Ⅱ

今日は「微分法と関数の増減」「関数の増減と極値」を中心に学習した。
テキストでいうとp.210～213を学習した。
極大・極小というのは「せまい範囲での関数値の大きさ」に関する概念であって、微分可能性とは直接関係がないということに注意すること。また、関数が減少から増加に転ずる点において関数は極小となるが、関数がある点で極小だからといって、その点の前後で関数が減少から増加に転ずるとは限らないことにも注意が必要である（そのような特殊な関数が存在する）。

宿題は授業内容の復習と授業内でできなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

来週の授業は５週目休室の振替日のため休みなので注意すること。

3/17 大学受験数学Ⅰ

今日は「集合の記法とその利用」を講義した。
集合の概念の突っ込んだ内容については、高校範囲で問われることはほとんどないが、教科書でも簡単なことは扱われる内容であり、最低限の知識は必要であるし、後に学習する「論理記号・同値変形」の単元でも集合の概念は使われる。

部分集合の定義や様々な記号の定義をまず憶えること。
ド・モルガンの法則をはじめとするいくつかの集合算に面食らった人もいるかもしれないが、ヴェン図を描けばほとんど明らかな内容なので、もう一度ヴェン図を描いてじっくり復習してもらいたい。
証明はしなくてもよいので。

宿題は、今日の授業の復習と次回復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。
来週の授業は５週目休室の振替日のため休みなので注意すること。

3/16 数学Ⅰ

今日は正の数・負の数の加法・減法・乗法を学習した。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回の計算の時間（月曜日）に一々今日のノートを見直さなくてもできる状態にしてくること。

3/15 数学Ⅱ

今日は、「多角形の内角の和」、「多角形の外角の和」、「三角形の合同条件」について学習した。
テキストでは p.348～352（新課程版p.350～354）にあたる。
宿題は今日の授業の復習と三角形の合同条件を習ったそのままの形で憶えること。
来週の授業は５週目休室の振替日のため休みなので注意すること。

3/10 大学受験数学Ⅱ

授業ではテキストp.202～209を学習した。
内容は「接線の方程式」「２曲線の共通接線」「２曲線が接する条件」。
数Ⅱ範囲ではないのだが、使えると非常に便利なので、積の微分法と合成関数の微分法についても講義した。また、多くの指導者が“導関数”と“微分”をゴッチャにして教えているが、
高校数学の範囲に“微分”というものは出てこないので、注意をしておいた。

宿題は授業内容の復習と授業内で練習できなかった類題をやっておくこと。
そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。

3/10 大学受験数学Ⅰ

先週の授業「多項式の基本事項」に引き続き、今週は「乗法公式と因数分解の基本公式」を講義した。先週、中学範囲の乗法公式と因数分解については復習してあるので、今回は高校範囲とされている乗法公式と因数分解の公式、複２次式の因数分解、工夫の必要な因数分解を学習した。
「高校範囲とされている乗法公式と因数分解」は“高校範囲”とされているため高校入試で出題されることはないが、憶えて使うだけなので実際はほとんど頭を使うことはない。それに比べれば、「複２次式の因数分解」や「工夫の必要な因数分解」は頭を使うのだが、厳密に“高校範囲”とされているわけではないためなのか、高校入試でも出題されることはある。中学生もしっかり復習してもらいたい。

宿題は、今日の授業の復習と計算練習プリント１枚。
復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。
いつも言っていることだが、同じ問題で８割を割り込むようだと、初めて見る同種の問題では６割をとることはできない。ということは入試なら合格点を取ることはできないということになってしまうということを１日も早く理解して、授業で扱った問題はいつ何時やらされてもほぼパーフェクトにできるようにし続けてもらいたい。それが合格への最短コースである。
沢山の演習などというものは、その先の先くらいのお話なのである。

3/9 数学Ⅰ

今日から数学Ⅰが開始した。
初めて数学を学習するというのが前提のクラスである。ただ、中学２年生であっても、数学の基礎学力が低い場合にはこのクラスから参加してもらう。
真面目に学習すれば、数学ⅠとⅡで２年間で学習できるので、それでも十分受験には間に合うからだ。

数学を初めて学習する人向けに、オリジナル教材を用いて、算数と数学の違いの説明からはじめて、「論理的に考える」とはどういうことなのかの説明や、数学で用いられる言葉（定義・定理・証明など）についての説明をして授業の前半を終え、後半では正の数・負の数、数直線、絶対値を学習した。

宿題は今日の授業の復習をしっかりとして、次回授業で行う復習テストで満点をとれるように勉強してくること。当室では開設以来一貫して、沢山の宿題を出すということはしていない。授業で学習した内容を毎回完璧に身に付けていくことが最も大切であり、実力を付けていくことに繋がると考えているからである。これは我々の思い込みではなく、正しいということが実績によって証明されてるのだから、それを信じて実行してもらいたい。

3/8 数学Ⅱ

今日は、「平行線と角」と「三角形の角」について学習した。
テキストでは p.340～347（新課程版p.342～349）にあたる。
宿題は今日の授業の復習と練習５８。
何度でも復習して次回の復習テストで満点をとれるようにしておくこと。

3/3 大学受験数学Ⅱ

大学受験数学Ⅱは昨年度の高校数学Ⅰからの接続授業としての位置づけである。

高校２年で理系志望の生徒のことを考えて、「微分法」からスタートした。
通常の数学Ⅱのカリキュラムは「式と証明・方程式」→「図形と式」→「三角関数」→「指数関数・対数関数」→「微分法・積分法」となっているので、いきなり「微分法」なんてありえないと思われる方もいらっしゃると思うのだが、数Ⅱの微分法・積分法は多項式の範囲でしか議論されないので、数Ⅰ・Ａの内容と数Ⅱの多項式の除法～因数定理くらいの内容が既知であれば、十分学習可能なのである。もちろん、数Ⅲの微分法・積分法をやる前には数Ⅱの「三角関数・指数関数・対数関数」の学習は必要になるのだが、当室では高校数学Ⅰで三角関数は既習であるので、指数・対数関数の学習さえ済ませば数Ⅲも学習可能というわけである。

授業ではテキストp.197～201を学習した。
内容は「関数の極限値」「微分係数」「導関数」。
関数の極限値の学習で注意しなければならないのは、定義域の変数 x がある値 a に近づくとき、
「常に a とは異なる値を取る」ということである。高校数学では関数の極限と連続性の議論がかなりいい加減なために、この辺りのことを生徒に力説して注意しておかないと勘違いをする生徒が続出する。多くの参考書や問題集の記述の仕方にも問題があるのだが、極限値を考えるとき「x に a を代入する」と思ってしまう生徒は非常に多いので要注意だ。
p.198 例題159 (1) では解答に誤りというか不必要な記述があるので注意してもらいたい。
「必要十分条件」の十分条件の記述の際に、多くの参考書・問題数でよく見かける間違いだ。このことについては、確か、駿台予備校の清先生もよくある間違いだと著書「数学の幸せ物語」の第１話で取り上げていたと思う。興味のある人は読んでもらいたい。
また、(2) では３次関数の連続性を自明のものとして解答しているような記載があるのだが、上でも書いたように高校数学では関数の連続性と極限の扱いがかなりいい加減なので、一言「３次関数の連続性より」と記載して、関数の連続性の定義くらいは生徒に説明しなければ、勘違いしてしまうだろうと考えて、そのように指導した。

宿題は授業内容の復習と授業内で練習できなかった類題をやっておくこと。
欠席者はテキストp.197～201 の内容を自習して疑問点は質問に来ること。
また、テキストp.197～201 の問題をスラスラ間違わずにできるようになるまで何度でも繰り返すこと。そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題または宿題のいずれか５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。入試数学で得点できるようになるには、確実にできる問題を一つでも多く増やしていくことが重要であって、できたりできなかったりするような問題は必要ないということを肝に銘じてもらいたい。

3/3 大学受験数学Ⅰ

昨年度までの「ハイレベル数学」と「高校数学Ⅰ」を合併して今年度から「大学受験数学Ⅰ」とした。
「ハイレベル数学」は中学生向けの最上位クラスとして設置していたが、
①「ハイレベル数学」の秋までの授業内容の大部分は現行中学課程外の内容であり、高校数学Ⅰ・Ａの内容とかぶっていた（それだけのことが難関高校受験では要求される）
②今年度から施行される高校数学Ⅰ・Ａ新課程で復活した「整数」と「空間図形」という項目は、元々学年の区別が付け辛く、文科省が課程から削除しても高校入試でも大学入試でも出題されたりされなかったりしてきた内容である（例えば、50年？位前に東大の一次試験で出題された正四角錐の切断の問題は難関高校入試の典型問題ではあるのに、高校の参考書にはほとんど取り上げられてこなかった。）
 ことにより、さらに両者の内容がかぶるようになること、さらに、
③高校受験を終えた後のこと（大学受験の準備）を考えた場合、余力のある（これは絶対条件である。多くの中高一貫校はここで誤りを犯している。）中学生は高校数学Ⅰ・Ａまで学習しておくことで、高校に入ってから無駄な苦労をせずに済むこと
以上の理由により、合併することにした。
ただ、これは参加する中学生にとってだけのメリットではない。参加する高校生は否応なく緊張感を持って授業に臨まなければならなくなるというメリットがある。もし、復習テストの結果が中学生を下回り続けるようなことがあれば、それは即、「たとえ浪人したとしても、後輩の現役生よりも偏差値の低い大学にしか合格できない」ことを意味するからだ。


授業はオリジナル教材で行った。（この件についての詳しい内容は時間の関係でまたの機会に譲りたい。）内容は「多項式の基本事項」。大半は中学内容の復習である。
宿題は、教材の基本事項をしっかりと読んで憶えるべきことを憶えて、教材に記載した注意すべき点・key point に注意しながら授業で扱った問題をスラスラ間違わずにできるようになるまで何度でも繰り返すこと。そして次回の復習テスト（授業で扱ったのと同じ問題５問程度を３０分で行う）で満点をとれるようにしてくること。入試数学で得点できるようになるには、確実にできる問題を一つでも多く増やしていくことが重要であって、できたりできなかったりするような問題は必要ないということを肝に銘じてもらいたい。
欠席者はプリントを取りに来て下さい。

新学年授業開始（本日は3/1数学Ⅱ）～教材執筆～

今日から新学年授業が開始した。
本日は数学Ⅱ。
今日から初めて当室の授業に参加する生徒も数名いたので、私が数学を初めて学習する人向けに書いたテキストの中から、中２、中３生にとっても今後の学習の肝となることの書かれた部分を学習した。

私はこれまで自分でテキストを書くことはしてこなかった。というより、そんなことをしなくても、市販されているもの（つまり、誰でも手に入るもの）でも使い方一つで、駿台模試成績優秀者に名前を掲載させることなど訳もなくできると思っていたし、実際毎年（１学年たった１０名程度の中から）数名が掲載されてきたので、その必要もないと考えていた。（この確率は実は普通の塾ならあり得ないことだということに注意して頂きたい。もしこんなことがどこかの大手塾で実現できてしまったら、駿台模試の成績優秀者全員がその大手塾の生徒だけということになってしまう。それくらいの確率なのである。）
しかし、昨年度、計算問題集を作成していたときに、博士課程時代に研究室の修士課程の後輩から、「先輩に一から数学を習ってみたかったです。先輩の書いた“ 数学を最初っから学習できるテキスト ”を読んでみたいです。」と言われたのを思い出したのだ。もちろん、彼も早稲田の理工学部で修士課程までいっているのだから、普通の人よりはるかに数学ができる人であるのは間違いないのだが、正しく学習をするようになればなるほど過去の自分（特に数学を学び始めた時期）の学習の不味さに気付くものなのだ。きっと私のゼミでそのことを感じてくれたのだと思う。そこで、そんな後輩の言葉に耳を傾けつつ、正しい学習のできる数学テキストを少し書いてみることにした。オリジナルテキストというと、中身の検証もせずにそれだけでありがたがる人が多いが、そんな似非オリジナルとは違って少しはまともなものを書かなければ意味がない。ただ、数学を少しでも正しく勉強したことのある人なら誰でも分かることだが、論理的整合性を取った瞬間に、文科省の定める学習順序とは異なるものになってしまうのが辛いところだ。
まぁ～その辺は、学校の進度が遅いことに助けられることだろう。

 今日はオリジナルテキストの第１講と「平面の基本図形」を学習したので、欠席者は配布プリントを取りに来ること。宿題は授業の復習と「平面の基本図形」の“基本事項のまとめ”に出てきた定義をしっかりと憶えること。
数学は考える科目であるという一見正しく、実は間違った考えを早く捨てること。考える前に、正しく理解して憶えなければならないことが数学には沢山出てくる。これらを正確に憶えることを怠らないようにしなければならない。考えるのはその後でよい（後でなければならない）。

生徒を自立させることこそ真の指導 ～「ドラゴン桜」との意外な共通点～

学習塾の本来あるべき指導の姿とは「生徒に教えすぎることなく自分で考えさせることである」という思いのもと、昨今の手取り足取り指導を謳う塾業界に一石を投じるため、我々は大泉英数研究室を開設した。

昨今、「子供の思考力を育てる」という理想的な（しかし実は何の根拠もない）キャッチフレーズに飛びつく一方で、他人に習わなくてもよいはずの教科や単元（例えば中学の理科（計算が伴わないもの）・社会など）まで指導を求める傾向がある。他人に習わなくてよいものまで他人に教わって、思考力など育つどころかその妨げになるというのに・・・
（理科や社会の塾講師から反発を受けそうだから言っておくと、高校の物理全般と化学の理論・計算部分については適切な指導を受けることは必要だと思う。しかし、それ以外のものは指導を受ける必要など全くないし、指導される時間を憶える時間にあてた方がよっぽど効率的だ。憶えていなければ１点にもならないが、憶えていれば満点近い点数を取れる科目なのである。実際、田舎の子供たち（私もそうであったし、私の周りの中高生たちもそうであった）は昔からずっとそうしているし、それで何も問題はないのだから。


ずっとその存在は知りつつも見たことがなかったドラマ「ドラゴン桜」を先日５年遅れくらいで見させていただいた（内容についてはほとんど知っていたので、ドラマまではチェックしていなかったので）。その中に我々の理念と共通する考え方があったので、紹介したい。（私の言うことだと反論したくなる人達も、ドラマの主人公のセリフなら素直に受け入れられるのではないだろうか？）
阿部寛さん扮する桜木建二（以下S）と長谷川京子さん扮する井野真々子（以下I）との会話シーン（というより説教シーンかな）
S「ここは海で、そしてお前の目の前に腹を空かせた生徒達が倒れている。お前は釣竿を一本持っていて、魚の釣り方をよく知っている。どうする？」
I「魚を釣ってあげます。」
S「だからお前はダメなんだよ。」
I「だって、お腹が空いてて動けないんでしょ？面倒見てあげるのは当り前じゃないですか？」
S「じゃぁ、奴らが高校を卒業した後はどうするんだよ？」
I「え？？」
S「いいか？お前の言い分は一見人間愛に満ちていて生徒思いのように見えるが、実は心の奥底は奴らを過小評価していて、能力を認めてねぇ。一生あいつらの魚を釣ってやるつもりか？それとも、あいつらが高校を卒業したら途端に知らん顔か？その場凌ぎで魚を釣ってやるよりも、奴らが自力で食っていけるように魚の釣り方をきちんと教えてやるのが大事なんじゃないのか？いいか、いい教師ってのはたとえ生徒が今は出来なくても出来るようになると信頼して、最低限のサポートをする。後は生徒の自立に任せられる教師だろ？！その代わり、生徒達を甘やかさず、少し努力すれば乗り越えられる壁を用意してやる。そして奴らが自分で考え、自分で決め、自分で行動する自立心を育ててゆく。」

「ドラゴン桜」をご存じない人のために人物紹介を・・・
桜木建二（さくらぎ けんじ）・・・元暴走族で、今は弁護士。警察に捕まってから改心して勉強し、東大に合格したが、進学せず弁護士の道を選ぶ。偏差値最底辺高校龍山から東大合格者を５人出すと宣言し、特別進学クラスを創設する。徹底的な合理主義者で曖昧な言動や小さな反発には容赦なく現実を突き付けて黙らせる。


「塾で手取り足取り指導してもらって成績が上がった」ということがもてはやされる風潮の中で、「いつまで手取り足取り教え続けるのか？」「手取り足取り教えることが本当に子供の人間的成長にとって＋になるのか？」「手取り足取り教えることで自分では何も考えられない人間にしてしまってはいないか？」「一見、子供思いのように見えて、実は心の奥底は子供を過小評価していて、能力を認めていないのではないか？ 一生子供の世話をしてやるつもりなのか？」という疑問を是非とも持っていただきたいというのが我々の切なる願いである。このような我々の思いをご理解して下さり、これまでご入室いただいた保護者の皆様にこの場をかりて感謝の意を表したい。


上記エピソード以外にも我々がこれまで塾内外で訴えてきたこととほとんど同じことが「ドラゴン桜」の中で桜木によって語られるのには少々驚いた。「ドラゴン桜」が放送された時は視聴率も人気も高かったし、実際の入試にもかなりの影響を与えたと耳にしていたからだ。それほど一般的に受け入れられやすい考えなら、他の塾もそれを採用してもっとまともな合格率（合格者数でないことに注意！）を出せるのではないだろうか。ドラマの中で語られることなど、所詮は「自分とは関係のないこと」であって、自分にとって都合の良いことだけしか聞こえないのかもしれない。本当に自分のためになるのは、その聞こえない部分だというのに・・・
それはどのような考え方なのだろう？と気になる方も少しはいらっしゃると思うが、
“ それはまた別の話 ”（王様のレストラン風に）
ということにしておこう・・・

（注）「ドラゴン桜」に出てくる学習法を肯定しているわけではありません。

基礎の徹底～開成高校合格率８５％の理由～

本年度は開成高校に２名が受験して２名が合格した。これで当研究室開室以来、７名が開成高校を受験して６名が合格したことになる。その合格率は実に８５％を上回る。
この内、当室独自の判断基準で開成高校に合格できると判断した生徒は６名で、６名全員が合格した。こちらが合格は難しいと判断しても、生徒が受験したいと言う場合には、無理にそれを止めることはできないので、さすがに合格率１００％というわけにはいかない。逆に、どこかの塾のように本人が受けたいと言っているわけでもないのにしつこく勧めて受験させるというようなこともしない。
「開成高校合格〇〇人！」と騒いでいる塾があるようだが、合格者数で騒ぐのは止めて、開成高校に何人受験して何人が合格したのかを発表していただきたいものである。でないと、毎年卒業生の何人（何十人？何百人？）かは単なる “数打ちゃ当たる”傭員にされ続けることになるだろう。


他塾には真似のできない高い合格率をどうして当室が出すことができるのか？
それは基礎を徹底しているからである。
「そんなことどこの塾でもやっているのではないか！？」という声が聞こえてきそうだが、私には、言っているだけでやっていないとしか見えない。“言う” のと “やる” のは全く違うということくらい誰だって分かっているはずなのに、多くの保護者は “塾が言っていること（スローガン）” にばかり気を取られて入塾させて、“塾がやっていること（現実）”の検証はしていないのではないだろうか？
どの塾もスローガンだけは立派なものが並んでいる。「量より質の学習」、「応用に結びつく基礎力の養成」、「思考力を育む授業」等々。しかし実際は、沢山の宿題を出したり、講習や合宿や特訓と称して長時間生徒を拘束して沢山の課題をやらせているのが現実であるし、どこまでが基礎でどこからが応用なのかの規定もなければ、思考力の定義もしない。スローガンの独り歩きもいいところである。塾が掲げたスローガンや指導方針に生徒が勝手に従わずに成績が伸びないのは生徒の責任だが、塾が自ら掲げたスローガンや指導方針とは異なる指導をして生徒の成績が伸びないのであれば、それは詐欺ではないのか？！


“基礎の徹底” それは世の中で思われているほど簡単なことではない。
“徹底”するためには何度も同じことを繰り返さなければならない。ということは、限られた勉強時間では沢山のものをやらせることはできないはずなのである。
つまり、「沢山のものをやる」≒「徹底できていない」ということである。
にもかかわらず、なぜ多くの塾が沢山の宿題を出し、講習などと称して長時間生徒を拘束して沢山の課題をやらせようとするのか？ また、なぜ生徒も保護者も何の疑問も持たずにそれに従うのか？
それは、沢山のものをやらせていれば、沢山のものをやらされていれば、互いに安心できるからだ。
そして、その安心と引き換えに、基礎を徹底できないままになってしまうのである。
「沢山のものをやらせない」ためには、指導する側の力量が問われる。自分の教えることで合格するのに必要十分であるという確信が。でないと生徒はついてこれない。そんな力量のある指導者がほとんどいないというのが現実なのだろう。


このような正論をいくら語ったところで、それを理解して下さり当室に生徒を通わせていただける保護者の皆様がいらっしゃらなければ、この正論も机上の空論に終わってしまう。
当室の指導方針を理解し賛同して下さったこれまでの保護者の皆様、そしてこれから理解して下さるであろう方々に感謝いたします。

教材について～計算問題集の重要性～

振り返ってみると、今年度は新しいことに取り組んだ年であった。

①英数ラボとして個別指導に取り組んだこと
②教材を作成したこと
③高校数学の問題（大学入試問題）を本格的に研究したこと
である。

今日は、②教材を作成したことについて書いてみようと思う。

教材について、私はこれまで（今でも本質的にはそう思っているが）何を使うかではなく、どう使うかが最も大切であると考えてきた（このように言われてもピンとこない方は、科目は違うが多くの中高一貫校でPROGRESSやNEW TREASUREを上手く使えていないという事実を思い起こしてみていただきたい）。もちろん、あらゆるところに間違いが書かれているようなものは使用に耐えないが、そうでなければやはり、どう使うかの方がはるかに大切である。だから当室では、一般的に評価の高い市販の教材を使って授業を行い、使い方（学習の仕方）の指導に重点を置いてきた。
結果が出ていなければこの意見は単なる独りよがりにすぎないが、今年も３人が駿台全国模試の成績優秀者に名前が掲載されたし、昨年は４人が掲載された。それ以前も、１人も掲載されなかった年を探す方が難しいくらい毎年のように掲載されてきた。
中３は毎年１０人そこそこしかいないのにである。

しかし、それでも自分としては納得できていなかったのが、生徒に適切な計算問題集を持たせることができていなかったことである。これは単純に、中学生用の適切な計算問題集が市販のものも塾用教材のものも含めて存在しなかったからで、これまでは自分が中学１年生の時に使用したもの（絶版）や生徒のレベルに合わせて何冊かの問題集や様々な学校の入試問題からピックアップして、プリントとして配布してきたのだが、プリントだと生徒はやったらすぐになくしてしまうので、何度も計算練習を繰り返させるということが徹底できなかった。その結果、入試直前になっても、計算をボロボロ間違える生徒ばかりで（私の）頭を悩ませてきた。（当の本人達は暢気なもので全く意に介していなかった。それでも、駿台模試に毎年何人も名前が掲載される上に、このように全国トップクラスの合格実績が出るのだから、世の中の他の塾の生徒の計算力と言ったら、私から見たらもうどうしようもないレベルなのだと思う。）

そこで、重い腰を上げて、計算問題集を作成することにしたのだが、これがなかなか大変な作業であった。最初は卒業生をアルバイトに使ってタイプしてもらえばいいと思って、最初の数ページはやってもらってはみたものの、やはり細かい問題の配置などが気になって、結局自分で全て打ち直すことになってしまった。最終段階まで来て、何とか年内に目途をつけたかったこともあり、下書きの段階のタイプを数十問卒業生の藤巻さんにお願いしてやってもらった。この場をかりてお礼を言いたい。

中学数学の計算問題としては、基礎から初めてこれ以上やる必要はないというものができたと思う。これからはこのテキストの問題を間違う問題がなくなるまで繰り返し練習するだけで、中学範囲では全国トップクラスの実力が付くであろう（これの半分の量も繰り返しやらせてあげれなかったこれまでの卒業生たちが、駿台模試で名前が掲載されているのだから当然である）。

はじめまして

英数研究室  数学ブログです。
学習塾の本来あるべき指導の姿とは「生徒に教えすぎることなく自分で考えさせることである」という思いのもと、昨今の手取り足取り指導を謳う塾業界に一石を投じるため、大泉英数研究室を開設いたしました。
「塾に通って手取り足取り指導してもらって成績が上がった」と喜ばれる保護者の皆さんには、「いつまで手取り足取り教え続けるのか？」「手取り足取り教えることが本当に子供の人間的成長にとって＋になるのか？」「手取り足取り教えることで自分では何も考えられない人間にしてしまってはいないか？」という疑問を是非とも持っていただきたいと思います。

このような思いでの開設から早いもので１０年の月日が流れました。
時代に逆行する考えなのか、中々理解がえられませんが、それでも理解して下さった少数派の保護者の皆様と生徒たちに支えられてここまでやってくることができました。
我々の思いが時代に逆行していたとしても、正しいということは卒業生達が築いた実績が物語っています。
簡単ながら当室の指導メソッドをご紹介いたします。

～本物の思考力をつける確かな指導メソッドと実績～
一般的原理から具体的な事象を導き出す演繹法（具体化）と、
具体的な事象から一般的原理を導き出す帰納法（抽象化）。
有形無形の森羅万象に潜む真理を導き出すために人類が生み出した思考法です。
英数研究室では、
「演繹（具体化）する力＋帰納（抽象化）する力＝思考力」と定義。
英語・数学の学習を通じて、演繹（具体化）・帰納（抽象化）を意識・習慣化させる指導メソッドが思考回路を育て、本物の思考力獲得へと導きます。

開設以来10年間、一貫してこの理念の下に、高校受験を成長過程における通過点として捉え、将来の大学受験さらには大学・大学院での研究、仕事に結びつく思考力の獲得を第一義に指導してまいりました。そのため、短期的な学力アップを図るだけで、本物の思考力獲得には妨げとなる長時間に及ぶ講習・特訓授業・合宿・志望校別対策授業を一切排除するなど他塾とはシステムが全く異質です。
また、指導メソッドの面でも、問題数をこなすことで無自覚に成績アップを図る「量の学習」を否定し、最小の問題数で演繹・帰納を意識する「質の学習」が身につくように構築しています。この学習法は宿題量が少なく、短期的な成績アップには結びつきにくい側面があるのも事実です。
しかしながら、長期的視野に立てば、一部の優秀層だけでなく一般的な学力の生徒にも有益であることを当研究室の難関高校進学率（多くの大手塾が発表している“のべ合格者数”ではありません！！）や大学進学実績が証明していると考えています。
http://eisuken2002.jimdo.com/実績/